Τα απλά μαθηματικά προβλήματα που παρουσιάζονται στο άρθρο εξακολουθούν να είναι ιδιαιτέρως αμφιλεγόμενα μεταξύ των φοιτητών μαθηματικών σχολών, αλλά δεν παύουν να αποτελούν αδιαμφισβήτητα γεγονότα. Πρόκειται για μαθηματικά παράδοξα και παραξενιές της θεωρίας των πιθανοτήτων. Είναι απολύτως εγγυημένο ότι θα αποτελέσουν αντικείμενο πολλών μελλοντικών συζητήσεων στις παρέες σας. Αν ψάχνετε για τρόπους να εντυπωσιάσετε τους φίλους σας και να παραπλανήσετε τους εχθρούς σας, το άρθρο αυτό αποτελεί ένα καλό σημείο εκκίνησης.
0,999… = 1
Ο αριθμός 0,999… με άπειρα δεκαδικά ψηφία ισούται με 1.
Υπάρχουν πολλές αποδείξεις που δείχνουν το αληθές αυτού του ισχυρισμού αλλά πολλοί είναι εκείνοι που εξακολουθούν να πασχίζουν να αποδεχθούν αυτό το γεγονός. Μια καλή απόδειξη είναι η εξής:
Χ = 0,999…
10Χ = 9,999…
10Χ – Χ = 9,999… – 0,999…
9Χ = 9
Χ = 1
Ο λόγος για τον οποίο πολλοί άνθρωποι δυσκολεύονται να δεχθούν αυτή την ιδέα είναι ότι ο περιορισμένων δυνατοτήτων ανθρώπινος εγκέφαλος είναι δύσκολο να αντιληφθεί την έννοια του απείρου. Σε κάποιο βαθμό, οι περισσότεροι άνθρωποι απλώς φαντάζονται ένα τελικό 9 στην αλληλουχία των δεκαδικών ψηφίων.
Οι αριθμοί μπορεί να δείχνουν διαφορετικοί όταν εκφραστούν με κάποιον άλλο τρόπο και η περίπτωση αυτή δεν αποτελεί εξαίρεση.
Μια άλλη απόδειξη είναι η ακόλουθη:
1/3 = 0,333…
3 Χ 1/3 = 3 Χ 0,333…
1 = 0,999…
Υπάρχουν εξίσου πολλοί άρτιοι αριθμοί με τους φυσικούς αριθμούς
Φυσικοί αριθμοί ονομάζονται στα μαθηματικά οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να μετράμε, π.χ. 1, 2, 3, 4 κλπ. Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός φυσικών αριθμών.
Υπάρχει επίσης ένας άπειρος αριθμός άρτιων (ζυγών) αριθμών.
Ίσως να πιστεύετε ότι υπάρχουν περισσότεροι φυσικοί αριθμοί από ότι φυσικοί αριθμοί επειδή οι φυσικοί αριθμοί αποτελούνται τόσο από άρτιους όσο και από περιττούς (μονούς) αριθμούς.
Κάνετε ΛΑΘΟΣ!
Σκεφτείτε το με τον εξής τρόπο. Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν αριθμό που είναι διπλάσιος από αυτόν και κάθε άρτιος αριθμός έχει έναν φυσικό αριθμό που έχει το μισό μέγεθος από αυτόν.
1 <—> 2
2 <—> 4
3 <—> 6
4 <—> 8
5 <—> 10
6 <—> 12
7 <—> 14
8 <—> 16
κ.ο.κ
Τι σημαίνει αυτό;
Για κάθε φυσικό αριθμό, υπάρχει επίσης ένας άρτιος αριθμός.
Αυτό σημαίνει ότι και τα δυο άπειρα σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος, αυτό που αποκαλούμε «αριθμήσιμο άπειρο». Αυτό τα διαφοροποιεί από σύνολα που είναι «μη αριθμήσιμα άπειρα», όπως οι πραγματικοί αριθμοί ή οι μιγαδικοί αριθμοί.
Για παράδειγμα, δεν μπορείτε να φτιάξετε μια αντιστοίχιση ένα προς ένα μεταξύ των φυσικών αριθμών και των πραγματικών αριθμών.
Άλλα αριθμήσιμα άπειρα σύνολα είναι εκείνα των ρητών αριθμών και των περιττών αριθμών.
Ο νόμος του Benford
Θα περίμενε κανείς ότι τα ψηφία από 1 έως 9 θα είχαν την ίδια πιθανότητα να εμφανιστούν ως αρχικό ψηφίο σε ένα επαρκώς μεγάλο σύνολο αριθμών. Δεν συμβαίνει όμως κάτι τέτοιο στην πράξη. Ο αριθμός «1» εμφανίζεται ως πρώτο ψηφίο στο 30% των περιπτώσεων στους αριθμούς του πραγματικού κόσμου.
Το 1938 ο φυσικός Frank Benford παρατήρησε για πρώτη φορά το 1938, ότι σε ένα σύνολο αριθμών το αρχικό ψηφίο τις περισσότερες φορές ήταν 1. Τα υπόλοιπα ψηφία που εμφανίζονται ως αρχικά σε αριθμούς ακολουθούν την παρακάτω λογαριθμική κατανομή.
Πρόκειται για μια παρατήρηση που εμφανίζεται συχνά στον πραγματικό κόσμο. Η κατανομή αυτή έχει χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό παραποιημένων στοιχείων μεταξύ των οποίων συμπεριλαμβάνονται νοθευμένα εκλογικά αποτελέσματα στο Ιράν, ψευδή οικονομικά δεδομένα και μαγειρεμένα λογιστικά βιβλία.
Παρατηρείται επίσης στους αριθμούς Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …), στους παραγοντικούς αριθμούς και στις δυνάμεις του δύο.
Το κουτί του Bertrand
Έστω ότι έχετε τρία κουτιά, καθένα από τα οποία έχει δυο ξεχωριστά διαμερίσματα.
- Ένα κουτί περιέχει δυο ράβδους χρυσού, μια σε κάθε διαμέρισμα του κουτιού
- Ένα κουτί περιέχει δυο ράβδους αργύρου, μια σε κάθε διαμέρισμα του κουτιού
- Ένα κουτί περιέχει στο ένα διαμέρισμα μια ράβδο χρυσού και στο άλλο διαμέρισμα μια ράβδο αργύρου
Επιλέγετε ένα κουτί στη τύχη και στη συνέχεια ανοίγετε ένα διαμέρισμα του στην τύχη. Αν η ράβδος που βρίσκετε είναι χρυσή, ποια είναι η πιθανότητα ότι και η άλλη ράβδος που υπάρχει στο άλλο διαμέρισμα του κουτιού είναι και εκείνη χρυσή;
Η πρώτη σας σκέψη είναι ότι υπάρχει 50-50 πιθανότητα να συμβαίνει αυτό. Εφόσον υπάρχουν μόνο δυο κουτιά που περιέχουν ράβδο χρυσού, πρέπει να έχετε διαλέξει ένα από αυτά. Εφόσον το ένα έχει μια ράβδο χρυσού και το άλλο έχει μια ράβδο αργύρου στο άλλο διαμέρισμα του κουτιού, η πιθανότητα στο κουτί σας να υπάρχει ακόμα μια ράβδος χρυσού είναι 50%. Σωστά;
ΛΑΘΟΣ!
Η κατάσταση είναι στη πραγματικότητα περισσότερο περίπλοκη. Για να καταλάβετε γιατί δεν υπάρχουν 50% πιθανότητες ας βάλουμε ταμπέλες στις ράβδους ως εξής:
Ας καταμετρήσουμε τώρα όλες τις πιθανές επιλογές:
Ας εστιάσουμε τώρα την προσοχή μας στις επιλογές εκείνες που αποκαλύπτεται πρώτα μια ράβδος χρυσού:
Υπάρχουν, επομένως 2 στις 3 πιθανότητες να περιέχει το άλλο διαμέρισμα μια ράβδο χρυσού, δεδομένου ότι αποκαλύψατε μια ράβδο χρυσού στη πρώτη σας προσπάθεια.
Δύο στις τρεις φορές θα αποκαλύψετε ακόμα μια ράβδο χρυσού, επειδή δύο στις τρεις φορές που βρήκατε μια ράβδο χρυσού ήταν είτε η ράβδος G1 είτε η ράβδος G2. Μια στις τρεις φορές θα αποκαλύψετε μια ράβδο αργύρου, επειδή μια στις τρεις φορές που βρήκατε μια ράβδο χρυσού ήταν η ράβδος G3. Το πρόβλημα αυτό έχει στενή συσχέτιση με το παράδοξο του Monty Hall.
Το παράδοξο του Monty Hall
Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεστε σε ένα τηλεπαιχνίδι και ο παρουσιαστής σας δείχνει τρεις κλειστές πόρτες. Πίσω από μια από τις τρεις πόρτες κρύβεται το μεγάλο δώρο του παχνιδιού, ένα ολοκαίνουργιο αυτοκίνητο. Θα, κατ’αρχήν, πρέπει να επιλέξετε μια πόρτα. Στη συνέχεια, ο παρουσιαστής ανοίγει μια από τις πόρτες που δεν διαλέξατε και πίσω από αυτήν αποκαλύπτεται μια κατσίκα.
Η παρουσιαστής σας ρωτάει αν επιθυμείτε να αλλάξετε πόρτες ή αν θέλετε να μείνετε με την πόρτα που αρχικώς επιλέξατε. Τι πρέπει να κάνετε;
Η πρώτη σκέψη που έρχεται στο μυαλό σας είναι να επιμείνετε στην πόρτα που διαλέξατε στην αρχή. Στο κάτω-κάτω μέχρι στιγμής τα πάτε καλά. Έτσι δεν είναι;
Εφόσον έχουν απομείνει μόνο δυο πόρτες στο σημείο αυτό του παιχνιδιού, υπάρχουν 50-50 πιθανότητες να κερδίσετε το αυτοκίνητο. Σωστα;
ΛΑΘΟΣ!
Η καλύτερη στρατηγική γι’αυτό το παιχνίδι είναι να αλλάζετε πόρτα. Πάντοτε!
Ένας παίκτης που έχει στρατηγική να αλλάζει κάθε φορά πόρτα θα χάσει μόνον αν η πόρτα που διάλεξε στην αρχή είναι εκείνη που κρύβει πίσω της το αυτοκίνητο.
Εφόσον οι πιθανότητες να επιλέξει το αυτοκίνητο με την πρώτη προσπάθεια είναι μια στις τρεις, οι πιθανότητες να χάσει στο παιχνίδι αλλάζοντας κάθε φορά πόρτα είναι επίσης μια στις τρεις.
Αυτό σημαίνει ότι ο παίκτης που αλλάζει κάθε φορά επιλογή θα κερδίσει στα δύο τρίτα των περιπτώσεων. Έχει δηλαδή την διπλάσια πιθανότητα να κερδίσει στο παιχνίδι από τον παίκτη εκείνο που ακολουθεί ως στρατηγική να επιμένει στην αρχική επιλογή του.
Επειδή ίσως σας είναι δύσκολο να το πιστέψετε. ας δοκιμάσουμε το ίδιο παιχνίδι αλλά αυτή τη φορά με 50 πόρτες αντί για τρεις. Έστω ότι διαλέγετε την πρώτη πόρτα.
Στη συνέχεια θα σας δείξω 48 κατσίκες. Εξακολουθείτε να αισθάνεστε την ίδια εμπιστοσύνη στην αρχική επιλογή σας; Θυμηθείτε πως έχετε 1 στις 50 πιθανότητες να έχετε κάνει τη σωστή επιλογή με τη πρώτη προσπάθεια. Εφαρμόζεται η ίδια ακριβώς αρχή, όπως και στο παιχνίδι με τις τρεις μόνο πόρτες.
Προϋπόθεση για όλα τα παραπάνω είναι φυσικά να θέλετε το αυτοκίνητο και όχι την κατσίκα. 
Οι τρεις κρατούμενοι
Τρεις κρατούμενοι βρίσκονται σε διαφορετικά κελιά μιας φυλακής και είναι όλοι καταδικασμένοι σε θάνατο. Ο κυβερνήτης διάλεξε έναν στη τύχη για να του απονείμει χάρη. Ο δεσμοφύλακας γνωρίζει ποιος πρόκειται να λάβει χάρη αλλά δεν το λέει.
Ο κρατούμενος Α με θράσος και πονηριά ζητάει από τον δεσμοφύλακα να του πει ποιος από τους άλλους, ο Β ή ο Γ, πρόκειται να εκτελεστεί.
«Αν πρόκειται να λάβει χάρη ο Β τότε πες μου το όνομα του Γ. Αν πρόκειται να λάβει χάρη ο Γ τότε πες μου το όνομα του Β. Αν είμαι εγώ εκείνος που θα λάβει χάρη, παίξτο κορώνα-γράμματα για να διαλέξεις ποιο όνομα θα μου πεις».
Ο δεσμοφύλακας λέει στον κρατούμενο Α ότι θα εκτελεστεί ο κρατούμενος Β.
Ο κρατούμενος Α είναι ενθουσιασμένος και πιστεύει ότι οι πιθανότητες επιβίωσης του ανέβηκαν από το 1/3 στο 1/2 επειδή εκεί που παιζόταν μεταξύ Α, Β και Γ πλέον μόνον οι Α και Γ ελπίζουν σε απονομή χάρης.
Ο κρατούμενος Α το λέει στον κρατούμενο Γ που και εκείνος με την σειρά του είναι ενθουσιασμένος γιατί συμπεραίνει ότι ενώ ο κρατούμενος Α έχει 1/3 πιθανότητες επιβίωσης, ο ίδιος έχει 2/3 πιθανότητες να είναι εκείνος που θα λάβει χάρη.
Ποιος κάνει λάθος;
Απάντηση: Ο κρατούμενος Γ έχει δίκιο!
Και οι τρεις κρατούμενοι είχαν αρχικώς 1 στις 3 πιθανότητες να λάβουν χάρη. Ο δεσμοφύλακας λέει ότι πρόκειται να εκτελεστεί ο Β, κάτι που σημαίνει πως:
- Είτε θα λάβει χάρη ο κρατούμενος Γ (πιθανότητα 1 στις 3)
- Είτε θα λάβει χάρη ο κρατούμενος Α και το στρίψιμο του νομίσματος έβγαλε τον κρατούμενο Β (πιθανότητα 1 στις 6)
Αυτό σημαίνει ότι οι πιθανότητες να έχει πάρει χάρη ο κρατούμενος Α είναι οι μισές από εκείνες που έχει ο κρατούμενος Γ να πάρει χάρη, ενώ ο Β δεν έχει καμιά πιθανότητα να πάρει χάρη.
Επομένως, οι πιθανότητες του κρατούμενου Α να πάρει χάρη είναι αμετάβλητες, 1 στις 3, ενώ οι πιθανότητες του κρατούμενου Γ να πάρει χάρη διπλασιάστηκαν σε 2 στις 3. Εφόσον είμαστε βέβαιοι ότι ο κρατούμενος Β έχει πλέον 0% πιθανότητες να πάρει χάρη και πως ο κρατούμενος Α έχει 33,333% πιθανότητες να πάρει χάρη, τότε ο κρατούμενος Γ έχει 66,666% πιθανότητες να είναι εκείνος που τελικά θα πάρει χάρη.
Περισσότερα αφιερώματα εδώ.