Του Γιάννη Μόκια, δασκάλου
Η γέννηση των μαθηματικών – Ιστορική αναδρομή
Η γέννηση των μαθηματικών – Ιστορική αναδρομή
Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα των αριθμών. Είναι ένας κόσμος μαγικός, με τύπους, ορισμούς, απρόοπτα, δυσκολίες και ανακαλύψεις, ο οποίος έχει καταφέρει να αποχτήσει φανατικούς οπαδούς και ορκισμένους εχθρούς.
Το βέβαιο είναι ότι τα μαθηματικά επηρέασαν και επηρεάζουν την εξέλιξη του κόσμου και του ανθρώπου συμβάλλοντας σημαντικά -ιδιαίτερα στις μέρες μας- στην έκρηξη της τεχνολογίας και των επιτευγμάτων του ανθρώπινου νου.
Πώς όμως γεννήθηκε η ιδέα των αριθμών;• Η ιδέα της αρίθμησης πρωτοεμφανίστηκε σαν μια σειρά ή αντιστοιχία αριθμών με τους οποίους ο πρωτόγονος άνθρωπος προσπαθούσε να μετρήσει ή να αντιστοιχίσει τα διάφορα αντικείμενα που έβλεπε γύρω του.(Ακόμα και σήμερα κάποιες πρωτόγονες φυλές δεν μετρούν πάνω από το 20).
• Οι Αιγύπτιοι στη συνέχεια χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά για να οριοθετήσουν τα χωράφια τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου και για να κατασκευάσουν τα τεράστια βασιλικά οικοδομήματα και των Φαραώ. • • Οι Βαβυλώνιοι και οι Ασσύριοι επίσης ανέπτυξαν αποσπασματικές μαθηματικές συνταγές για διάφορα μαθηματικά προβλήματα.(Σώθηκαν έγγραφα που περιγράφουν προβλήματα με εξισώσεις δευτέρου βαθμού).
• Οι Έλληνες στη συνέχεια επηρεάστηκαν από τους λαούς της ανατολής και δανείστηκαν πολλές από τις γνώσεις τους για να προχωρήσουν παραπέρα τη μαθηματική σκέψη. Κατά την κλασική εποχή έβαλαν τα θεμέλια της μαθηματικής επιστήμης με την εισαγωγή της απόδειξης σαν βασική μαθηματική έννοια.
• Ακολούθησαν οι Ινδοί και οι Άραβες στους οποίους οφείλεται το σημερινό αριθμητικό σύστημα. Οι Άραβες θεωρούνται οι θεμελιωτές της σύγχρονης άλγεβρας.
• Πολύ αργότερα, κατά τον 17ο αιώνα ο Descartes έβαλε τα θεμέλια της αναλυτικής γεωμετρίας προσπαθώντας να ενοποιήσει την άλγεβρα με τη γεωμετρία. Κατά τον ίδιο αιώνα οι Newton και Leibniz ανακάλυψαν τον απειροστικό λογισμό και ο Euler έδωσε στην τριγωνομετρία την οριστική της μορφή.
• Μεγάλη ακμή γνώρισε η μαθηματική σκέψη και κατά τον 19ο αιώνα, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ο χρυσός αιώνας των μαθηματικών. Κατά την περίοδο αυτή αναπτύχθηκαν οι παρακάτω μαθηματικές έννοιες που διαμόρφωσαν τα σημερινά μαθηματικά:
1.Η έννοια του αλγόριθμου
2.Η έννοια της αλγεβρικής δομής
3.Η έννοια της συνάρτησης
4.Η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία
5.Η αριθμητικοποίηση της ανάλυσης
• Κατά τον 20ο αιώνα σημαντική ώθηση στα μαθηματικά έδωσε η ανακάλυψη του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Σήμερα υπάρχουν περίπου 100 βασικοί μαθηματικοί κλάδοι με 3500 χιλιάδες υποκατηγορίες και κάθε χρόνο υπολογίζεται ότι παράγονται 200000 μαθηματικά θεωρήματα.
• Οι Αιγύπτιοι στη συνέχεια χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά για να οριοθετήσουν τα χωράφια τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου και για να κατασκευάσουν τα τεράστια βασιλικά οικοδομήματα και των Φαραώ. • • Οι Βαβυλώνιοι και οι Ασσύριοι επίσης ανέπτυξαν αποσπασματικές μαθηματικές συνταγές για διάφορα μαθηματικά προβλήματα.(Σώθηκαν έγγραφα που περιγράφουν προβλήματα με εξισώσεις δευτέρου βαθμού).
• Οι Έλληνες στη συνέχεια επηρεάστηκαν από τους λαούς της ανατολής και δανείστηκαν πολλές από τις γνώσεις τους για να προχωρήσουν παραπέρα τη μαθηματική σκέψη. Κατά την κλασική εποχή έβαλαν τα θεμέλια της μαθηματικής επιστήμης με την εισαγωγή της απόδειξης σαν βασική μαθηματική έννοια.
• Ακολούθησαν οι Ινδοί και οι Άραβες στους οποίους οφείλεται το σημερινό αριθμητικό σύστημα. Οι Άραβες θεωρούνται οι θεμελιωτές της σύγχρονης άλγεβρας.
• Πολύ αργότερα, κατά τον 17ο αιώνα ο Descartes έβαλε τα θεμέλια της αναλυτικής γεωμετρίας προσπαθώντας να ενοποιήσει την άλγεβρα με τη γεωμετρία. Κατά τον ίδιο αιώνα οι Newton και Leibniz ανακάλυψαν τον απειροστικό λογισμό και ο Euler έδωσε στην τριγωνομετρία την οριστική της μορφή.
• Μεγάλη ακμή γνώρισε η μαθηματική σκέψη και κατά τον 19ο αιώνα, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ο χρυσός αιώνας των μαθηματικών. Κατά την περίοδο αυτή αναπτύχθηκαν οι παρακάτω μαθηματικές έννοιες που διαμόρφωσαν τα σημερινά μαθηματικά:
1.Η έννοια του αλγόριθμου
2.Η έννοια της αλγεβρικής δομής
3.Η έννοια της συνάρτησης
4.Η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία
5.Η αριθμητικοποίηση της ανάλυσης
• Κατά τον 20ο αιώνα σημαντική ώθηση στα μαθηματικά έδωσε η ανακάλυψη του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Σήμερα υπάρχουν περίπου 100 βασικοί μαθηματικοί κλάδοι με 3500 χιλιάδες υποκατηγορίες και κάθε χρόνο υπολογίζεται ότι παράγονται 200000 μαθηματικά θεωρήματα.
ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ H παιδαγωγική των μαθηματικών επηρεάζεται από δυο κυρίως αρχές: του απολυτισμού και του ημιεμπειρικισμού.
•Σύμφωνα με τις αρχές του απολυτισμού:1. Τα μαθηματικά είναι ένα σύνολο από αιώνιες αλήθειες, ανεξάρτητες από κοινωνικές και ιδεολογικές επιδράσεις. Είναι δηλαδή ουδέτερα και όλοι οι μαθητές μπορούν να τα καταλάβουν, αρκεί να διαθέτουν το κατάλληλο μυαλό.
2. Τα μαθηματικά είναι ένα σπουδαίο εργαλείο για την πειθαρχία του νου και την πνευματική συγκρότηση.
3. Τα σχολικά βιβλία περιέχουν αυστηρά δομημένη και ουδέτερη γνώση, η οποία έχει διάφορα επίπεδα που μπορούν να κατακτήσουν οι μαθητές ανάλογα με τις πνευματικές ικανότητές τους.
4. Τα λάθη στα μαθηματικά είναι δηλωτικά της αποτυχίας του μαθητή να φτάσει στη γνώση και της αδυναμίας του να εκπληρώσει τις υποχρεώσεις του στο σχολείο. Το λάθος επομένως δεν έχει καμιά παιδαγωγική αξία.
2. Τα μαθηματικά είναι ένα σπουδαίο εργαλείο για την πειθαρχία του νου και την πνευματική συγκρότηση.
3. Τα σχολικά βιβλία περιέχουν αυστηρά δομημένη και ουδέτερη γνώση, η οποία έχει διάφορα επίπεδα που μπορούν να κατακτήσουν οι μαθητές ανάλογα με τις πνευματικές ικανότητές τους.
4. Τα λάθη στα μαθηματικά είναι δηλωτικά της αποτυχίας του μαθητή να φτάσει στη γνώση και της αδυναμίας του να εκπληρώσει τις υποχρεώσεις του στο σχολείο. Το λάθος επομένως δεν έχει καμιά παιδαγωγική αξία.
•Σύμφωνα με τις αρχές του ημιεμπειρικισμού:1. Οι μαθηματικές αλήθειες δεν είναι απόλυτες και είναι προϊόντα της ανθρώπινης δραστηριότητας. Περιέχουν επομένως το στοιχείο της αβεβαιότητας. Η μαθηματική γνώση αποχτιέται από το μαθητή με την αλληλεπίδρασή του μέσα στο κοινωνικό σύνολο, δηλαδή χτίζεται σιγά σιγά.
2. Τα μαθηματικά διδάσκονται για να αναπτύξουν οι μαθητές την κριτική σκέψη. Με την επίλυση προβλημάτων μέσα από τη ζωή αποχτούν οι μαθητές θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά. Ο μαθητής πρέπει να συμμετέχει σε δραστηριότητες που περιέχουν προβληματικές καταστάσεις τις οποίες προσπαθεί να λύσει.
3. Τα σχολικά μαθηματικά δεν πρέπει να θεωρούνται σαν επιβαλλομένη γνώση, αλλά να ελκύουν το μαθητή σε μια περιπέτεια με δοκιμές, πειραματισμούς, υποθέσεις, τροποποιήσεις. Η μαθηματική γνώση δεν προσφέρεται έτοιμη αλλά καταχτιέται.
4. Το λάθος στα μαθηματικά θεωρείται ένα σπουδαίο παιδαγωγικό εργαλείο για το ψάξιμο των παραγόντων που εμποδίζουν την κατανόηση του περιεχομένου της μάθησης.
2. Τα μαθηματικά διδάσκονται για να αναπτύξουν οι μαθητές την κριτική σκέψη. Με την επίλυση προβλημάτων μέσα από τη ζωή αποχτούν οι μαθητές θετική στάση απέναντι στα μαθηματικά. Ο μαθητής πρέπει να συμμετέχει σε δραστηριότητες που περιέχουν προβληματικές καταστάσεις τις οποίες προσπαθεί να λύσει.
3. Τα σχολικά μαθηματικά δεν πρέπει να θεωρούνται σαν επιβαλλομένη γνώση, αλλά να ελκύουν το μαθητή σε μια περιπέτεια με δοκιμές, πειραματισμούς, υποθέσεις, τροποποιήσεις. Η μαθηματική γνώση δεν προσφέρεται έτοιμη αλλά καταχτιέται.
4. Το λάθος στα μαθηματικά θεωρείται ένα σπουδαίο παιδαγωγικό εργαλείο για το ψάξιμο των παραγόντων που εμποδίζουν την κατανόηση του περιεχομένου της μάθησης.
ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Μέχρι πριν λίγα χρόνια οι δάσκαλοι θεωρούσαν ότι οι μαθητές ήταν άδεια δοχεία τα οποία έπρεπε να γεμίσουν με μαθηματικές γνώσεις. Αρκούσε να ήταν επιμελείς και προσεκτικοί, αρκούσε να παρακολουθούν προσεκτικά την παράδοση του δασκάλου και θα έκαναν κτήμα τη μαθηματική γνώση χωρίς πολλή προσπάθεια.
Σήμερα η παιδαγωγική άποψη για τη διδασκαλία των μαθηματικών διαφέρει αρκετά από την προηγούμενη θεώρηση. Η κοινωνική σημασία της μάθησης οδηγεί στο συμπέρασμα ότι μαθητής για να κάνει κτήμα του τη μαθηματική γνώση θα πρέπει να εμπλακεί σε διαδικασίες ανακάλυψής της, να κινηθεί για να την αποχτήσει. Ο δάσκαλος θα πρέπει να σχεδιάζει δραστηριότητες με τις οποίες θα ασχοληθεί ο μαθητής, να παρακινεί το μαθητή, να τον ενισχύει, να τον καθοδηγεί ώστε να ανακαλύψει τη γνώση και να εκμεταλλευτεί την παιδαγωγική σημασία του λάθους. Το λάθος στα μαθηματικά δεν είναι σημάδι αδυναμίας ή άγνοιας αλλά είναι στοιχείο για την ανακάλυψη των παραγόντων που δεν επιτρέπουν στο άτομο να αναπτύξει τη μαθηματική σκέψη στον ίδιο βαθμό με τα υπόλοιπα άτομα. Το κλίμα της τάξης επίσης θα πρέπει να είναι ευχάριστο και πρόσφορο για δημιουργικές δραστηριότητες που εξασφαλίζουν την ισότιμη συμμετοχή όλων των παιδιών.
Ο ΜΑΘΗΤΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ – ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΦΟΒΙΑ
Μαθηματικοφοβία είναι ο φόβος και η ανασφάλεια που νιώθουν οι μαθητές για το μάθημα των μαθηματικών. Δεν παρατηρείται σε όλα τα παιδιά και δεν αποτελεί πάθηση ή ασθένεια. Δεν έχει σχέση με τις ικανότητες των μαθητών και οφείλεται σε αρνητικές εμπειρίες που αποκομίζουν κατά τη διδασκαλία του μαθήματος οι οποίες επηρεάζουν την επίδοσή τους μειώνοντάς την πάρα πολύ.
Μια σοβαρή αιτία μαθηματικοφοβίας είναι το άγχος και η ένταση που προκαλεί στα παιδιά ο υπερτονισμός της αναγκαιότητας της διδασκαλίας των μαθηματικών, αφού τα μαθηματικά θεωρούνται το φυσικό υπόβαθρο κάθε επιστήμης.
Μια άλλη αιτία της μαθηματικοφοβίας είναι ότι η διδασκαλία των μαθηματικών δεν συμβαδίζει πάντα με τα στάδια της νοητικής ανάπτυξης του παιδιού και έτσι καθώς προσπαθούν να τα κατανοήσουν παιδιά που δεν έχουν φτάσει στο αντίστοιχο επίπεδο μαθηματικής σκέψης συναντούν ανυπέρβλητα εμπόδια.
Μια τρίτη αιτία είναι ότι τα μαθηματικά δε διδάσκονται με πρακτικές δραστηριότητες που έχουν σχέση με την καθημερινή ζωή, αλλά βασίζονται στη μηχανική απομνημόνευση.
Τέταρτη αιτία είναι στερεότυπες αντιλήψεις, ότι κάποιοι γεννιούνται με χαρισματική μαθηματική σκέψη και κάποιοι χωρίς αυτήν, ότι τα κορίτσια δεν μπορούν να αναπτύξουν τη μαθηματική σκέψη στον ίδιο βαθμό με τα αγόρια. Έτσι παιδιά που συναντούν δυσκολίες στην κατανόηση των μαθηματικών γρήγορα απογοητεύονται και εγκαταλείπουν την προσπάθειά τους σαν μάταιη θεωρώντας τους εαυτούς τους μη χαρισματικούς.
Άλλη αιτία της μαθηματικοφοβίας είναι η κακή διδασκαλία, τα συχνά τεστ, οι πολλές ασκήσεις(ασκησιομανία) και τα ακατάλληλα προγράμματα. Σχετικά με τα προγράμματα και τον τρόπο διδασκαλίας μπορούμε να παρατηρήσουμε τα παρακάτω:
• Οι μαθητές μαθαίνουν από τα πρώτα ακόμα χρόνια στο σχολείο ότι μάθηση στα μαθηματικά είναι η απομνημόνευση κι έτσι παραφορτώνουν νωρίς τη μνήμη τους με τύπους και ορισμούς. Μαθαίνω μαθηματικά όμως σημαίνει μαθαίνω να κάνω μαθηματικά. «Ακούω και ξεχνάω, βλέπω και θυμάμαι, κάνω και καταλαβαίνω» έλεγαν οι Κινέζοι.
• Η αυθεντία του δασκάλου που επιβάλλει την άποψή του στους μαθητές είναι παράγοντας που ενισχύει το φόβο τους στα μαθηματικά.
• Τα τεστ και τα διαγωνίσματα που σκοπό έχουν την αξιολόγηση του μαθητή ασκούν συχνά κακή επίδραση, γιατί γίνονται τελικά αυτοσκοπός της γνώσης. Τα τεστ και τα διαγωνίσματα δημιουργούν ανησυχία και φόβο στους μαθητές. Νιώθουν ανασφάλεια και ,αν τους αλλάξεις κάποια παράμετρο της διαδικασίας, πελαγώνουν, γιατί έχουν συνηθίσει στην παπαγαλία και στην αποστήθιση. Εξάλλου πολλοί υποστηρίζουν ότι οι μαθηματικές ικανότητες δεν μπορούν να μετρηθούν με τεστς και διαγωνίσματα προκαθορισμένης ύλης και λίγο πολύ υποψιασμένων απαντήσεων.
• Η αυθεντία του δασκάλου που επιβάλλει την άποψή του στους μαθητές είναι παράγοντας που ενισχύει το φόβο τους στα μαθηματικά.
• Τα τεστ και τα διαγωνίσματα που σκοπό έχουν την αξιολόγηση του μαθητή ασκούν συχνά κακή επίδραση, γιατί γίνονται τελικά αυτοσκοπός της γνώσης. Τα τεστ και τα διαγωνίσματα δημιουργούν ανησυχία και φόβο στους μαθητές. Νιώθουν ανασφάλεια και ,αν τους αλλάξεις κάποια παράμετρο της διαδικασίας, πελαγώνουν, γιατί έχουν συνηθίσει στην παπαγαλία και στην αποστήθιση. Εξάλλου πολλοί υποστηρίζουν ότι οι μαθηματικές ικανότητες δεν μπορούν να μετρηθούν με τεστς και διαγωνίσματα προκαθορισμένης ύλης και λίγο πολύ υποψιασμένων απαντήσεων.
Η μαθηματικοφοβία θα μπορούσε να είναι λοιπόν η φυσιολογική αντίδραση του παιδιού σε μια όχι και τόσο ευχάριστη κατάσταση, όπως είναι ο σημερινός τρόπος διδασκαλίας των μαθηματικών: διάλεξη-εξήγηση-εξάσκηση-απομνημόνευση.
ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Υπάρχει στο σχολείο ένα αρκετά σεβαστό ποσοστό μαθητών που αντιμετωπίζουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην κατανόηση των μαθηματικών και έχουν φτωχές επιδόσεις στο μάθημα αυτό. Καθώς ανεβαίνουν τις τάξεις , οι δυσκολίες και οι αποτυχίες γίνονται περισσότερες, γιατί οι μαθηματικές έννοιες γίνονται πιο πολύπλοκες και επισωρεύουν πρόσθετες δυσκολίες και αποτυχίες στις ήδη υπάρχουσες. Η εμφάνιση των αδυναμιών στα παιδιά αυτά δεν συνδέεται άμεσα με το φαινόμενο της μαθηματικοφοβίας που αναφέρθηκε παραπάνω. Οφείλεται περισσότερο σε ενδογενείς παράγοντες που διαμορφώνουν την ψυχοσύνθεση των παιδιών αυτών. Προκειμένου να καταπολεμήσουν τις αδυναμίες οι μαθητές αυτοί βρίσκουν τρόπους αντίδρασης που πολλές φορές είναι αναποτελεσματικοί και πρωτόγονοι(προβολή δικαιολογιών, έντονο άγχος, επιλεκτική μάθηση, στείρα απομνημόνευση, εγκατάλειψη προσπάθειας, κλπ).
Μεταξύ των παραγόντων που επηρεάζουν τη μάθηση των παιδιών αυτών μπορούν να αναφερθούν οι παρακάτω:
• Η μικρής χωρητικότητας βραχυπρόθεσμη μνήμη, η έλλειψη συντονισμού μεταξύ του δεξιού και του αριστερού τμήματος του εγκεφάλου, η προβληματική λεκτική ικανότητα και η φτωχή φυσική γλώσσα επηρεάζουν αρνητικά την επίδοσή στα μαθηματικά.
• Το ιδιαίτερο στυλ της σκέψης του παιδιού, το οποίο δεν ταιριάζει με το μάθημα αυτό. Δε «χωνεύει» όπως λέμε το συγκεκριμένο μάθημα, γιατί δεν ταιριάζει στην ψυχοσύνθεσή του.
• Ο διαφορετικός ρυθμός μάθησης. Ένα πρόβλημα που απευθύνεται στον «μέσο» μαθητή μπορεί να φαίνεται αργό για ένα γρήγορο μαθητή και πάρα πολύ γρήγορο για ένα αργό μαθητή.
• Η ανάγκη γραφικής αναπαράστασης. Υπάρχουν παιδιά που έχουν ανάγκη να εργαστούν με συγκεκριμένα υλικά, να κάνουν τη γραφική ή συμβολική αναπαράσταση της μαθηματικής έννοιας προτού την κατανοήσουν.
• Εξαρτώμενοι-ολικοί/ανεξάρτητοι-αναλυτικοί μαθητές. Υπάρχουν μαθητές που ονομάζονται σφαιρικοί-ολικοί ή αλλιώς εξαρτώμενοι από το πεδίο ενός προβλήματος, οι οποίοι δυσκολεύονται να εντοπίσουν όλα τα δεδομένα σε ένα πεδίο μάθησης. Στην αντίθετη πλευρά είναι οι μαθητές που μπορούν να διακρίνουν τις λεπτομέρειες σε ένα μαθηματικό πρόβλημα-πεδίο και λέγονται ανεξάρτητοι- αναλυτικοί. Αυτοί συνήθως τα καταφέρνουν καλύτερα από τους εξαρτημένους στα μαθηματικά. Οι έρευνες έχουν δείξει ότι οι εξαρτημένοι από το πεδίο μαθητές μαθαίνουν καλύτερα με τον αφηγηματικό τρόπο διδασκαλίας και όχι με τον ανακαλυπτικό.
• Υπερβολικός αυθορμητισμός/υπερβολικός σκεπτικισμός. Οι υπερβολικά αυθόρμητοι και οι υπερβολικά σκεπτόμενοι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολίες στα μαθηματικά. Με τη στάση τους οι πρώτοι δίνουν γρήγορες και επιπόλαιες απαντήσεις που είναι φυσικά λανθασμένες ή δεν δίνουν καθόλου απαντήσεις αμφισβητώντας τα πάντα οι δεύτεροι.
• Η μικρής χωρητικότητας βραχυπρόθεσμη μνήμη, η έλλειψη συντονισμού μεταξύ του δεξιού και του αριστερού τμήματος του εγκεφάλου, η προβληματική λεκτική ικανότητα και η φτωχή φυσική γλώσσα επηρεάζουν αρνητικά την επίδοσή στα μαθηματικά.
• Το ιδιαίτερο στυλ της σκέψης του παιδιού, το οποίο δεν ταιριάζει με το μάθημα αυτό. Δε «χωνεύει» όπως λέμε το συγκεκριμένο μάθημα, γιατί δεν ταιριάζει στην ψυχοσύνθεσή του.
• Ο διαφορετικός ρυθμός μάθησης. Ένα πρόβλημα που απευθύνεται στον «μέσο» μαθητή μπορεί να φαίνεται αργό για ένα γρήγορο μαθητή και πάρα πολύ γρήγορο για ένα αργό μαθητή.
• Η ανάγκη γραφικής αναπαράστασης. Υπάρχουν παιδιά που έχουν ανάγκη να εργαστούν με συγκεκριμένα υλικά, να κάνουν τη γραφική ή συμβολική αναπαράσταση της μαθηματικής έννοιας προτού την κατανοήσουν.
• Εξαρτώμενοι-ολικοί/ανεξάρτητοι-αναλυτικοί μαθητές. Υπάρχουν μαθητές που ονομάζονται σφαιρικοί-ολικοί ή αλλιώς εξαρτώμενοι από το πεδίο ενός προβλήματος, οι οποίοι δυσκολεύονται να εντοπίσουν όλα τα δεδομένα σε ένα πεδίο μάθησης. Στην αντίθετη πλευρά είναι οι μαθητές που μπορούν να διακρίνουν τις λεπτομέρειες σε ένα μαθηματικό πρόβλημα-πεδίο και λέγονται ανεξάρτητοι- αναλυτικοί. Αυτοί συνήθως τα καταφέρνουν καλύτερα από τους εξαρτημένους στα μαθηματικά. Οι έρευνες έχουν δείξει ότι οι εξαρτημένοι από το πεδίο μαθητές μαθαίνουν καλύτερα με τον αφηγηματικό τρόπο διδασκαλίας και όχι με τον ανακαλυπτικό.
• Υπερβολικός αυθορμητισμός/υπερβολικός σκεπτικισμός. Οι υπερβολικά αυθόρμητοι και οι υπερβολικά σκεπτόμενοι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολίες στα μαθηματικά. Με τη στάση τους οι πρώτοι δίνουν γρήγορες και επιπόλαιες απαντήσεις που είναι φυσικά λανθασμένες ή δεν δίνουν καθόλου απαντήσεις αμφισβητώντας τα πάντα οι δεύτεροι.
ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών μπορεί ο δάσκαλος να ακολουθήσει μια από τις παρακάτω διδακτικές προσεγγίσεις:
α. Την καθαρή αφήγηση. Ο δάσκαλος κάνει τα πάντα και ο μαθητής ακούει, προσέχει και κρατά σημειώσεις.
β. Την καθαρή ανακάλυψη. Ο δάσκαλος δεν κάνει σχεδόν τίποτα και είναι απλός παρατηρητής. Ο μαθητής καθορίζει το πρόβλημα και προσπαθεί να το λύσει.
γ. Την καθοδηγούμενη ανακάλυψη. Ο δάσκαλος καθορίζει μόνο το πρόβλημα ή καθορίζει το πρόβλημα και δίνει και τις οδηγίες και ο μαθητής λύνει το πρόβλημα ακολουθώντας τις οδηγίες του δασκάλου.
α. Την καθαρή αφήγηση. Ο δάσκαλος κάνει τα πάντα και ο μαθητής ακούει, προσέχει και κρατά σημειώσεις.
β. Την καθαρή ανακάλυψη. Ο δάσκαλος δεν κάνει σχεδόν τίποτα και είναι απλός παρατηρητής. Ο μαθητής καθορίζει το πρόβλημα και προσπαθεί να το λύσει.
γ. Την καθοδηγούμενη ανακάλυψη. Ο δάσκαλος καθορίζει μόνο το πρόβλημα ή καθορίζει το πρόβλημα και δίνει και τις οδηγίες και ο μαθητής λύνει το πρόβλημα ακολουθώντας τις οδηγίες του δασκάλου.
ΔΑΣΚΑΛΙΚΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΒΟΗΘΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ• Ο δάσκαλος πρέπει να έχει ορίσει απ’ την αρχή τους στόχους της μαθηματικής ενότητας και τις διδακτικές στρατηγικές που θα εφαρμόσει κατά τη διδασκαλία.
• Πρέπει να προσφέρει την κατάλληλη καθοδήγηση που χρειάζεται το παιδί στη συγκεκριμένη στιγμή. Η καθοδήγηση θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη στην αρχή της προσπάθειας και να ελαττώνεται όσο εξελίσσεται η προσπάθεια του μαθητή για την εύρεση της λύσης.
• Θα πρέπει ο δάσκαλος να θέτει ερωτήματα ή να κάνει υποθέσεις και να δείχνει πολλά παραδείγματα στα παιδιά. Θα πρέπει επίσης να δίνει την ευχέρεια στα παιδιά να κάνουν τα ίδια υποθέσεις και να συζητούν για την ορθότητα των υποθέσεών τους.
• Θα πρέπει να κάνει συχνά ανακεφαλαιώσεις κατά τη διαδικασία της ανακαλυπτικής διαδικασίας. Με τις ανακεφαλαιώσεις τα παιδιά οργανώνουν τα δεδομένα που υπάρχουν ως τη στιγμή εκείνη σε οργανωμένα σύνολα και προχωρούν στα επόμενα βήματα έχοντας υπόψη τις στρατηγικές που ακολούθησαν ως εδώ.
• Εκείνη που «μετράει» στα μαθηματικά είναι η απόδειξη, η οποία εξασφαλίζει την τελική αλήθεια των συλλογισμών. Ο δάσκαλος δεν πρέπει να επιμένει στην προφορική έκφραση των συμπερασμάτων από όλα τα παιδιά ιδίως στις μικρές τάξεις, γιατί συμβαίνει πολλές φορές να έχει κάποιο παιδί σχηματίσει την ιδέα της λύσης στο μυαλό του αλλά να μη μπορεί να την εκφράσει. Ο δάσκαλος με κατάλληλα παραδείγματα οφείλει να καταλάβει αν η σκέψη του παιδιού βρίσκεται στο σωστό δρόμο όσο αφορά τη λύση μαθηματικών προβλημάτων και να το βοηθήσει να την εκφράσει προφορικά.
• Πρέπει να προσφέρει την κατάλληλη καθοδήγηση που χρειάζεται το παιδί στη συγκεκριμένη στιγμή. Η καθοδήγηση θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη στην αρχή της προσπάθειας και να ελαττώνεται όσο εξελίσσεται η προσπάθεια του μαθητή για την εύρεση της λύσης.
• Θα πρέπει ο δάσκαλος να θέτει ερωτήματα ή να κάνει υποθέσεις και να δείχνει πολλά παραδείγματα στα παιδιά. Θα πρέπει επίσης να δίνει την ευχέρεια στα παιδιά να κάνουν τα ίδια υποθέσεις και να συζητούν για την ορθότητα των υποθέσεών τους.
• Θα πρέπει να κάνει συχνά ανακεφαλαιώσεις κατά τη διαδικασία της ανακαλυπτικής διαδικασίας. Με τις ανακεφαλαιώσεις τα παιδιά οργανώνουν τα δεδομένα που υπάρχουν ως τη στιγμή εκείνη σε οργανωμένα σύνολα και προχωρούν στα επόμενα βήματα έχοντας υπόψη τις στρατηγικές που ακολούθησαν ως εδώ.
• Εκείνη που «μετράει» στα μαθηματικά είναι η απόδειξη, η οποία εξασφαλίζει την τελική αλήθεια των συλλογισμών. Ο δάσκαλος δεν πρέπει να επιμένει στην προφορική έκφραση των συμπερασμάτων από όλα τα παιδιά ιδίως στις μικρές τάξεις, γιατί συμβαίνει πολλές φορές να έχει κάποιο παιδί σχηματίσει την ιδέα της λύσης στο μυαλό του αλλά να μη μπορεί να την εκφράσει. Ο δάσκαλος με κατάλληλα παραδείγματα οφείλει να καταλάβει αν η σκέψη του παιδιού βρίσκεται στο σωστό δρόμο όσο αφορά τη λύση μαθηματικών προβλημάτων και να το βοηθήσει να την εκφράσει προφορικά.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΣΗ(learning by doing)Η μάθηση αυτή μπορεί να εφαρμοστεί στις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις θεωρείται χρήσιμη και απαραίτητη ακόμα και στις μεγαλύτερες τάξεις. Οι μαθητές ασκούνται αρχίζοντας σε πολύ μικρή ηλικία με κατάλληλο υλικό(ψαλίδι, χαρτί, σχήματα, γεωπίνακας, καθημερινά αντικείμενα) σε απλές μαθηματικές έννοιες, ώστε αργότερα να είναι σε θέση να κάνουν πιο πολύπλοκους υπολογισμούς. Η εργαστηριακή μάθηση όμως προϋποθέτει σοβαρό και υπεύθυνο προγραμματισμό από το δάσκαλο. Πρέπει επίσης να έχουν ασκηθεί οι μαθητές προηγουμένως στη χρήση του εποπτικού υλικού και να γνωρίζουν τι θα κάνουν κάθε φορά. Απαιτείται δηλαδή καλή οργάνωση της διδασκαλίας.
Στην αρχή ο δάσκαλος ασκεί μεγαλύτερη καθοδήγηση η οποία στη συνέχεια γίνεται πιο χαλαρή. Οι μαθητές μπορούν να χωριστούν σε ομάδες και να επωφελούνται από τη συνεργασία μεταξύ τους. Ο δάσκαλος κατά την εργαστηριακή μάθηση πρέπει να βοηθάει τις ομάδες όταν φτάνουν σε αδιέξοδο, να παρατηρεί συνέχεια την εργασία των μαθητών, να κάνει ερωτήσεις για να ξεκαθαρίσει διάφορες ιδέες, να ενθαρρύνει τους μαθητές στη συνεργασία, να τους αφήνει να φτάνουν στη λύση με το δικό του τρόπο ο καθένας, να έχει μεγάλα αποθέματα υπομονής, να βραβεύει την πρωτοτυπία, την φαντασία και την συνεργασία, να κάνει συχνές ανακεφαλαιώσεις, για να δώσει έμφαση σε ορισμένες τεχνικές.
ΤΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΜΙΑΣ ΕΠΙΤΥΧΗΜΕΝΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΗ διδασκαλία των μαθηματικών έχει στόχο να κεντρίσει το ενδιαφέρον του μαθητή μέσα από μια προβληματική κατάσταση και να προκαλέσει την ενεργοποίηση των διανοητικών του ικανοτήτων με δραστηριότητες στις οποίες θα εμπλακεί ως την επίλυσή της. Για να θεωρηθεί επιτυχημένη μια διδασκαλία των μαθηματικών πρέπει να αρχίσει με μια οργανωμένη παρουσίαση από το δάσκαλο. Η παρουσίαση πρέπει να έχει μικρή διάρκεια, να διαθέτει ζωντάνια, να εκφράζεται με λόγο πρόσχαρο, απλό, λιτό, να εκφράζει θετική στάση ως προς το αντικείμενο της μάθησης και να παρωθεί το μαθητή προς την κατανόηση του προβλήματος.
Ο δάσκαλος κατά την παρουσίαση λειτουργεί σαν ζωντανό μοντέλο σκέψης και με τη στάση του επηρεάζει τη στάση του μαθητή απέναντι στα μαθηματικά είτε θετικά είτε αρνητικά. Η παρουσίαση του δασκάλου λοιπόν πρέπει να γεννά θετικές προσδοκίες και να παρωθεί σε δημιουργικές δραστηριότητες τους μαθητές.
Ξέρουμε σήμερα ότι η γνώση δε μεταφέρεται παθητικά από το δάσκαλο στο μαθητή, αλλά κατασκευάζεται στον εσωτερικό κόσμο του μαθητή με την ελεύθερη συμμετοχή του σε δραστηριότητες που έχουν στόχο την επίλυση προβληματικών καταστάσεων με συνεργασία, συζήτηση και ελεύθερη έκφραση.
Ο δάσκαλος κατά την παρουσίαση λειτουργεί σαν ζωντανό μοντέλο σκέψης και με τη στάση του επηρεάζει τη στάση του μαθητή απέναντι στα μαθηματικά είτε θετικά είτε αρνητικά. Η παρουσίαση του δασκάλου λοιπόν πρέπει να γεννά θετικές προσδοκίες και να παρωθεί σε δημιουργικές δραστηριότητες τους μαθητές.
Ξέρουμε σήμερα ότι η γνώση δε μεταφέρεται παθητικά από το δάσκαλο στο μαθητή, αλλά κατασκευάζεται στον εσωτερικό κόσμο του μαθητή με την ελεύθερη συμμετοχή του σε δραστηριότητες που έχουν στόχο την επίλυση προβληματικών καταστάσεων με συνεργασία, συζήτηση και ελεύθερη έκφραση.
Ο δάσκαλος λοιπόν πρέπει να εξασφαλίζει συνθήκες κατάλληλες που να ευνοούν τη συνεργασία, τον διάλογο και την ελεύθερη έκφραση των απόψεων των μαθητών. Πρέπει επίσης να εξασφαλίζει την πρακτική εξάσκηση του μαθητή σε διάφορες προβληματικές καταστάσεις, στις οποίες καλείται να εφαρμόσει τις θεωρητικές γνώσεις που απόχτησε και είναι σχετικές με τις καταστάσεις αυτές.
Πρέπει ο δάσκαλος να προσφέρει κίνητρα να ασχοληθούν οι μαθητές με τεχνικές και με στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων με την παρουσίαση προβλημάτων που έχουν σχέση με την καθημερινή ζωή.
Πρέπει να κινητοποιηθεί ο μαθητής να ερευνήσει, να αναζητήσει, να μαντέψει, να δοκιμάσει, να τροποποιήσει τη σκέψη του, να ξαναδοκιμάσει μέχρι να φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
Πρέπει να κινητοποιηθεί ο μαθητής να ερευνήσει, να αναζητήσει, να μαντέψει, να δοκιμάσει, να τροποποιήσει τη σκέψη του, να ξαναδοκιμάσει μέχρι να φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
Πρέπει το πρόβλημα που θα του δοθεί να είναι πρωτότυπο και να εξάπτει την περιέργειά του, δεν πρέπει να είναι πολύ δύσκολο, γιατί εύκολα αποθαρρύνεται ούτε πολύ εύκολο, γιατί γίνεται βαρετό και ατονεί το ενδιαφέρον του.
Πρέπει επίσης το πρόβλημα να κρύβει κάποιο μυστήριο ώστε να διεγείρει την φαντασία του μαθητή. Ο δάσκαλος πρέπει να τονώνει συνέχεια το ενδιαφέρον του μαθητή δείχνοντας ενθουσιασμό για το αντικείμενο που διδάσκει, γιατί ο δάσκαλος που πλήττει και δεν ενδιαφέρεται για το αντικείμενο που διδάσκει είναι αποτυχημένος και αυτό το βλέπει ο μαθητής.
Γιάννης Μόκιας, δάσκαλος
Το άρθρο αυτό βασίζεται στο βιβλίο του κου Μπάμπη Τουμάση, ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, εκδόσεις GUTENBERG, Αθήνα 2002