Καρλ Βάιερστρας, ο πατέρας της σύγχρονης αναλύσεως

Ο Καρλ Τέοντορ Βίλχελμ Βάιε(ρ)στρας (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 31 Οκτωβρίου 1815 – 19 Φεβρουαρίου 1897) ήταν Γερμανός μαθηματικός, που αναφέρεται συχνά ως ο «πατέρας της σύγχρονης αναλύσεως». Παρά το ότι εγκατέλειψε το πανεπιστήμιο χωρίς να πάρει πτυχίο, μελέτησε μαθηματικά και τα δίδασκε μαζί με φυσική, βοτανική και γυμναστική.

Ο Βάιερστρας διετύπωσε τον σημερινό αυστηρό ορισμό της συνέχειας μιας συναρτήσεως, ενώ απέδειξε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και το Θεώρηµα Μπολτσάνο-Βάιερστρας, εφαρμόζοντας το τελευταίο για να μελετήσει τις ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά φραγμένα διαστήματα.

Βιογραφικά στοιχεία

Ο Βάιερστρας γεννήθηκε στο Όστενφέλντε, προάστιο της μικρής πόλεως Ενιγκέρλο, στη Βεστφαλία. Γονείς του ήταν ο Βίλχελμ Βάιερστρας, δημόσιος υπάλληλος, και η Τεοντόρα Φόντερφορστ. Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά άρχισε όταν πήγαινε στο γυμνάσιο Theodorianum (Gymnasium Theodorianum) στο Παντερμπόρν. Τελειώνοντας το σχολείο, στάλθηκε από τους γονείς του στο Πανεπιστήμιο της Βόννης για να διεκδικήσει μετά μια κρατική θέση. Καθώς οι σπουδές του εκεί ήταν στα νομικά και στα οικονομικά, συγκρούσθηκαν με τις ελπίδες του να σπουδάσει μαθηματικά. Αποφάσισε να μη δίνει μεγάλη σημασία στις σπουδές στο πανεπιστήμιο και να συνεχίσει ιδιωτικά να μελετά μαθηματικά. Το αποτέλεσμα ήταν να εγκαταλείψει τη Βόννη χωρίς να πάρει πτυχίο. Στη συνέχεια σπούδασε μαθηματικά στην Ακαδημία του Μύνστερ (ένα ΑΕΙ πολύ γνωστό τότε για το επίπεδο των μαθηματικών σπουδών του) και ο πατέρας του μπόρεσε να του εξασφαλίσει μία θέση σε παιδαγωγική σχολή στο Μύνστερ. Αργότερα πήρε άδεια διδασκαλίας στην ίδια πόλη. Την εποχή εκείνη ο Βάιερστρας παρακολουθούσε τις διαλέξεις του Κριστόφ Γκούντερμαν και άρχισε να ενδιαφέρεται για τις ελλειπτικές συναρτήσεις.

Το 1843 δίδαξε στο Βάουτς (τότε Deutsch Krone) της Δυτικής Πρωσίας, ενώ από το 1848 και μετά δίδασκε στο Οσιανό Κολέγιο των Ιησουιτών στο Μπράουνσμπεργκ, το σημερινό Μπρανιέβο της Πολωνίας. Εκτός από τα μαθηματικά, δίδασκε και φυσική, βοτανική και γυμναστική.

Μετά το 1850 ο Βάιερστρας υπέφερε από χρόνια ασθένεια, αλλά μπόρεσε να δημοσιεύσει εργασίες που του απέφεραν φήμη και διακρίσεις. Το Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ τον ανεκήρυξε επίτιμο διδάκτορα στις 31 Μαρτίου 1854. Το 1856 ανέλαβε μία έδρα στο Gewerbeinstitut, το μετέπειτα Πολυτεχνείο του Βερολίνου. Τέλος το 1864 έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου και το 1895 τιμήθηκε με το Μετάλλιο Κόπλεϋ της Βασιλικής Εταιρείας. Τα τελευταία τρία χρόνια της ζωής του ήταν ακινητοποιημένος και απεβίωσε σε ηλικία 81 ετών από πνευμονία στο Βερολίνο.

Το μαθηματικό έργο του

Η θεμελίωση του απειροστικού λογισμού

Ο Βάιερστρας ενδιαφερόταν για τη λογική πληρότητα του απειροστικού λογισμού, καθώς στην εποχή του υπήρχαν κάπως ασαφείς ορισμοί στα θεμέλιά του και έτσι σημαντικά θεωρήματα δεν ήταν δυνατό να αποδειχθούν με αρκετή αυστηρότητα. Αν και ο Μπολτσάνο είχε αναπτύξει έναν αυστηρό ορισμό του ορίου ήδη από το 1817 (ίσως ακόμα νωρίτερα), το έργο του είχε παραμείνει άγνωστο σε όλη σχεδόν τη μαθηματική κοινότητα για πολλά χρόνια και πολλοί μαθηματικοί είχαν μόνο ασαφείς ορισμούς του ορίου και της συνέχειας μιας συναρτήσεως.

Οι αποδείξεις για το όριο με τη χρήση των ε και δ βρίσκονται για πρώτη φορά στα έργα του Κωσύ κατά τη δεκαετία του 1820. Ο Γάλλος μαθηματικός δεν διέκρινε καθαρά μεταξύ της συνέχειας και της ομοιόμορφης συνέχειας ενός διαστήματος. Για να το κάνει αυτό, χρειαζόταν η έννοια της ομοιόμορφης συγκλίσεως, η οποία προσεγγίσθηκε για πρώτη φορά από τον δάσκαλο του Βάιερστρας, τον Κριστόφ Γκούντερμαν, σε μία δημοσίευση του 1838, όπου ο Γκούντερμαν σημείωσε την ιδιότητα αυτή, αλλά δεν την όρισε, ούτε ασχολήθηκε μαζί της. Ο Βάιερστρας αντιλήφθηκε τη σημασία της και οι δυο τους διετύπωσαν τον τυπικό ορισμό της και την εφάρμοσαν ευρύτατα στα θεμέλια του απειροστικού λογισμού.

Ο αυστηρός ορισμός της συνέχειας μιας συναρτήσεως όπως διατυπώθηκε από τον Βάιερστρας είναι ο εξής:

Η συνάρτηση ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ είναι συνεχής στο ${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$ αν ${\displaystyle \displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0}$ τέτοιο ώστε για κάθε ${\displaystyle x}$ στο πεδίο ορισμού της ${\displaystyle f}$,   ${\displaystyle \displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$

Με απλά λόγια, η ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ είναι συνεχής σε ένα σημείο ${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$ αν για κάθε ${\displaystyle \varepsilon >0\ }$ υπάρχει ένα ${\displaystyle \delta >0}$ τέτοιο ώστε η ${\displaystyle f(x)}$ έχει τιμή μεταξύ του ${\displaystyle f(x_{0})-\varepsilon }$ και του ${\displaystyle f(x_{0})+\varepsilon }$ όταν το ${\displaystyle x}$ βρίσκεται μεταξύ του ${\displaystyle x_{0}-\delta }$ και του ${\displaystyle x_{0}+\delta }$.

Εφαρμόζοντας αυτόν τον ορισμό, ο Βάιερστρας απέδειξε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών. Επιπλέον, απέδειξε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως Θεώρηµα Μπολτσάνο-Βάιερστρας και το εφάρμοσε προκειμένου να μελετήσει τις ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα.

Λογισμός των μεταβολών

Ο Βάιερστρας συνεισέφερε σημαντική πρόοδο και στο πεδίο του λογισμού των μεταβολών. Με χρήση του εξοπλισμού της αναλύσεως, στην ανάπτυξη του οποίου βοήθησε ο ίδιος, μπόρεσε να δώσει μία πλήρη επαναδιατύπωση της θεωρίας που άνοιξε τον δρόμο για τη σύγχρονη μελέτη του λογισμού των μεταβολών. Ανάμεσα στα όχι λίγα σημαντικά αξιώματα που διετύπωσε, καθόρισε και μία αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ισχυρών ακραίων σημείων σε προβλήματα λογισμού των μεταβολών. Βοήθησε επίσης στην ανακάλυψη της Συνθήκης Weierstrass–Erdmann, η οποία δίνει επαρκείς προϋποθέσεις για ένα extremal να εμφανίζει γωνία κατά μήκος ενός δοσμένου extrema και επιτρέπει την εξεύρεση μιας καμπύλης ελαχιστοποιήσεως για ένα δεδομένο ολοκλήρωμα.

Επιπλέον θεωρήματα και έννοιες στην ανάλυση

Θεώρημα Stone–Weierstrass
Θεώρημα Weierstrass–Casorati
Ελλειπτικές συναρτήσεις του Weierstrass
Συνάρτηση Weierstrass
Έλεγχος M του Weierstrass
Θεώρημα προετοιμασίας του Weierstrass
Θεώρημα Lindemann-Weierstrass
Θεώρημα παραγοντοποίησης του Weierstrass
Παραμετροποίηση Enneper-Weierstrass
Θεώρημα Sokhatsky-Weierstrass (ή Θεώρημα Sokhotski-Plemelj
Δακτύλιος Weierstrass
Εξίσωση Weierstrass, άλλη ονομασία για την εξίσωση των ελλειπτικών καμπυλών

Αξιοσημείωτοι φοιτητές

Παρότι δεν δίδαξε πραγματικά πολλά χρόνια στο Πανεπιστήμιο, ο Καρλ Βάιερστρας μόρφωσε έναν αριθμό μετέπειτα αξιόλογων επιστημόνων, όπως οι εξής (με αλφαβητική σειρά):
Γκέοργκ Κάντορ
Σοφία Κοβαλέφσκαγια
Γκέστα Μίταγκ-Λέφλερ
Χέρμαν Σβαρτς
Καρλ Γιοχάνες Τόμαε
Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους
Έντμουντ Χούσερλ

Επιλεγμένα έργα

Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
Theorie der Abelschen Funktionen (1856)
Abhandlungen-1, Math. Werke. Bd. 1. Βερολίνο 1894
Abhandlungen-2, Math. Werke. Bd. 2. Βερολίνο 1895
Abhandlungen-3, Math. Werke. Bd. 3. Βερολίνο 1903
Vorl. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten, Math. Werke. Bd. 4. Βερολίνο 1902
Vorl. ueber Variationsrechnung, Math. Werke. Bd. 7. Λειψία 1927

Ονομάσθηκαν προς τιμή του

Εκτός από τους όρους των μαθηματικών που αναφέρονται παραπάνω, το επώνυμο του Καρλ Βάιερστρας φέρουν:
Ο αστεροειδής 14100 Βάιερστρας (Weierstrass), που ανακαλύφθηκε το 1997.
Ο κρατήρας Βάιερστρας στην ορατή από τη γη πλευρά της Σελήνης.
Το Ινστιτούτο Weierstrass για την Εφαρμοσμένη Ανάλυση και τη Στοχαστική (WIAS) στο Βερολίνο.
Το «p του Βάιερστρας» (Weierstrass p), καλλιγραφικό γράμμα που συμβολίζει τις Ελλειπτικές συναρτήσεις του Weierstrass.

Περισσότερα αφιερώματα εδώ.