Είναι το αρχαιότερο άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά, με ρίζες 2.000 ετών. Το ζήτημα είναι τόσο απλό όσο η εύρεση ενός μοναδικού αριθμού, και όμως, ακόμα και οι λαμπρότεροι μαθηματικοί, όπως ο Όιλερ και ο Καρτέσιος, απέτυχαν να το επιλύσουν.
Το πρόβλημα αυτό βρίσκεται στον πυρήνα της Θεωρίας Αριθμών και αφορά τους Τέλειους Αριθμούς.
Τι είναι ένας Τέλειος Αριθμός;
Ένας αριθμός ονομάζεται τέλειος αν το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του (δηλαδή όλων των διαιρετών εκτός από τον ίδιο τον αριθμό) ισούται με τον αριθμό.
- Παράδειγμα ο 6: Οι γνήσιοι διαιρέτες του είναι το 1, το 2 και το 3. Το άθροισμά τους: . Άρα, το 6 είναι ο πρώτος τέλειος αριθμός.
- Παράδειγμα ο 28: Οι γνήσιοι διαιρέτες του είναι 1, 2, 4, 7 και 14. Το άθροισμά τους: .
Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν τους πρώτους τέσσερις τέλειους αριθμούς, και χρειάστηκε πάνω από μια χιλιετία για να βρεθούν οι επόμενοι. Οι πρώτοι τέλειοι αριθμοί είναι:
- 6
- 28
- 496
- 8.128
Αυτοί οι αριθμοί εμφανίζουν αξιοσημείωτες ιδιότητες:
- Είναι όλοι τριγωνικοί αριθμοί (π.χ. και ).
- Όλοι (εκτός του 6) είναι το άθροισμα διαδοχικών περιττών κύβων (π.χ. ).
- Στη δυαδική αναπαράσταση (βάση 2), αποτελούνται από μια σειρά από μονάδες, ακολουθούμενη από μια σειρά από μηδενικά (π.χ., 28 είναι 11100).
Η λύση για τους Άρτιους Τέλειους Αριθμούς: Το θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ
Ο Ευκλείδης (περίπου 300 π.Χ.) ανακάλυψε τον κανόνα για τη δημιουργία άρτιων τέλειων αριθμών. Η φόρμουλα του Ευκλείδη είναι:
όπου ο παράγοντας πρέπει να είναι πρώτος αριθμός.
Αυτοί οι πρώτοι αριθμοί είναι γνωστοί ως Πρώτοι Αριθμοί Μερσέν (Mersenne Primes). Έτσι, η εύρεση ενός νέου Πρώτου Μερσένματαυτόχρονα δημιουργεί έναν νέο άρτιο τέλειο αριθμό.
Αργότερα, τον 18ο αιώνα, ο Λέοναρντ Όιλερ έκανε μια κορυφαία μαθηματική ανακάλυψη: απέδειξε ότι όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί έχουν τη μορφή του Ευκλείδη. Το εύρημα αυτό, γνωστό ως Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ, έλυσε ένα πρόβλημα 1.600 ετών.
Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια υπερυπολογιστών και του προγράμματος GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), έχουν βρεθεί μόνο 51 άρτιοι τέλειοι αριθμοί, καθώς οι Πρώτοι Μερσέν είναι εξαιρετικά σπάνιοι και τεράστιοι (ο μεγαλύτερος γνωστός έχει πάνω από 24 εκατομμύρια ψηφία!).
Το αρχαιότερο άλυτο μυστήριο: Υπάρχουν Περιττοί Τέλειοι Αριθμοί;
Ενώ το ζήτημα των άρτιων τέλειων αριθμών έχει επιλυθεί, το αρχαιότερο άλυτο πρόβλημα παραμένει:
Υπάρχει έστω και ένας Περιττός Τέλειος Αριθμός;
Παρά την εκτεταμένη έρευνα, κανείς δεν έχει βρει ούτε έναν. Οι μαθηματικοί έχουν καταφύγει σε υπολογιστές, αποδεικνύοντας ότι αν ένας περιττός τέλειος αριθμός υπάρχει, πρέπει να είναι:
- Τεράστιος: Μεγαλύτερος από 102200 (ένα ψηφίο ακολουθούμενο από 2.200 μηδενικά).
- Σύνθετος: Να έχει τουλάχιστον 10 διαφορετικούς πρώτους παράγοντες.
- Ειδικής Μορφής (Συνθήκη Όιλερ): Πρέπει να είναι της μορφής , όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός (ο μοναδικός παράγοντας σε περιττή δύναμη) και m είναι ένας άλλος αριθμός.
Οι ερευνητές συνεχίζουν να προσθέτουν συνθήκες σε αυτό που ονομάζουν «πλέγμα συνθηκών», ελπίζοντας ότι κάποια στιγμή το πλέγμα θα γίνει τόσο σφιχτό ώστε να αποδείξει ότι η ύπαρξή τους είναι αδύνατη. Προς το παρόν, η ύπαρξη Περιττού Τέλειου Αριθμού παραμένει ένα από τα πιο δυσεπίλυτα και συναρπαστικά μυστήρια της Θεωρίας Αριθμών.
Η σημασία της περιέργειας
Ίσως αναρωτιέστε γιατί έχει σημασία ένα τόσο αφηρημένο πρόβλημα. Για χιλιάδες χρόνια, η Θεωρία Αριθμών θεωρούνταν «καθαρή» μαθηματική έρευνα χωρίς πρακτική εφαρμογή.
Ωστόσο, τον 20ο αιώνα, αυτό το θεωρητικό θεμέλιο έγινε η βάση για την Κρυπτογραφία και το RSA (τα συστήματα που προστατεύουν τις online συναλλαγές και τα δεδομένα μας). Η κρυπτογραφία είναι ένας τομέας που βασίζεται εξ ολοκλήρου στις ιδιότητες των πρώτων αριθμών.
Η ενασχόληση με άλυτα προβλήματα, ακόμα και χωρίς προφανή εφαρμογή, ωθεί στη δημιουργία νέων μαθηματικών εργαλείων και ιδεών, τα οποία αργότερα βρίσκουν απρόσμενη χρησιμότητα. Όπως είπε και ο Όιλερ, η απάντηση στο ερώτημα για τους περιττούς τέλειους αριθμούς είναι ένα «εξαιρετικά δύσκολο ζήτημα», αλλά η μόνη σίγουρη οδός είναι να συνεχίσουμε να ψάχνουμε.