O Ζήνωνας ο Ελεάτης(490-430 π.Χ.), μαθηματικός και φιλόσοφος, μεταξύ άλλων είχε γράψει τέσσερα παράδοξα, η αλλιώς "τα παράδοξα της κίνησης",
με τα οποία υποστήριζε την Παρμενίδα θέση, ότι δηλαδή η κίνηση είναι
αδύνατη! Εμείς θα ασχοληθούμε με το πιο γνωστό, το παράδοξο του Αχιλλέα
και της χελώνας.
Η ιστορία έχει ως εξής: Ο Αχιλλέας και η
χελώνα αποφάσισαν να κάνουν έναν αγώνα δρόμου. Για να το κάνουν λίγο
πιο ενδιαφέρον όμως, η χελώνα ξεκίνησε σε κάποια απόσταση πιο μπροστά
από τον Αχιλλέα, καθώς ο τελευταίος είναι πολύ πιο γρήγορος από αυτήν.
Το παράδοξο είναι ότι για όση διάρκεια και να συνεχιστεί ο αγώνας- ο
Αχιλλέας δε θα τη περάσει ποτέ.
Πώς είναι δυνατό ο Ζήνων να υποστήριξε κάτι τέτοιο;
Αν υποθέσουμε πως η χελώνα ξεκινάει 100m
μπροστά από τον Αχιλλέα ο οποίος τρέχει με 10m/s. Έστω η χελώνα
κινείται με 1m/s (Οι αριθμοί δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία αφού υποθέτουμε
πως ο αγώνας μπορεί να συνεχίζεται επ'άπειρου).
- Όταν λοιπόν ο Αχιλλέας θα έχει πάει στα 100m, η χελώνα θα βρίσκεται 10m μπροστά του.
- Όταν θα διανύσει αυτά τα 10 μέτρα, η χελώνα θα βρίσκεται 1m μπροστά του.
- Όταν διανύσει τo 1m, η χελώνα θα βρίσκεται 0,1m μπροστά του, και ούτω καθεξής.
Επομένως ο Αχιλλέας δε θα προσπεράσει ποτέ τη χελώνα.
Πού είναι το λάθος?
Πουθενά μάλλον..!
Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προσέγγιση του
Άγγλου μαθηματικού και φιλόσοφου Bertrand Russell στις αρχές του 20ου
αιώνα για το πρόβλημα αυτό. Το κύριο σημείο του επιχειρήματος του Russel
είναι η ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσεων του Αχιλλέα και της
χελώνας. Σε κάθε στιγμή της κίνησής τους ο Αχιλλέας είναι κάπου- το ίδιο
και η χελώνα. Δεν είναι δυνατόν για κανέναν τους να βρίσκεται ποτέ δυο
φορές στο ίδιο μέρος κατά τη διάρκεια της κούρσας. Έτσι, ο αριθμός των
σημείων όπου πηγαίνει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων
που πηγαίνει η χελώνα. Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάσει τη χελώνα, τότε
ο αριθμός των σημείων από όπου πέρασε θα ήταν μεγαλύτερος από τον
αντίστοιχο της χελώνας. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο
Αχιλλέας έχει να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση από τη χελώνα. Έτσι κατά
τον Russell, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το εξής παράδοξο: ο
αριθμός των σημείων από όπου πέρασε ο Αχιλλέας είναι ίσος από τον αριθμό
των σημείων που πέρασε η χελώνα, και μάλιστα την ίδια στιγμή στην
περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει τη χελώνα, ο αριθμός αυτός είναι
μεγαλύτερος για τον Αχιλλέα! Αυτό όμως είναι μια αντίφαση. Ωστόσο, τα
δυο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει,
αυτό είναι μια χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλαδή τα
μέρη τους, αν όχι ίσα, είναι ισοδύναμα.