Η θεωρία των Μαθηματικών Γ' Δημοτικού, παρουσιασμένα από τον ιστότοπο http://users.sch.gr/parantoniou/index.html
Ενότητα 1: Αριθμοί μέχρι το 1.000 - Οι τέσσερις πράξεις - Γεωμετρικά σχήματα
Κεφάλαιο 1: Αριθμοί μέχρι το 1.000
Μονάδες, Δεκάδες, Εκατοντάδες
Ένας τριψήφιος αριθμός αποτελείται από : Εκατοντάδες, Δεκάδες και Μονάδες
Π.χ.: Ο αριθμός 268 αποτελείται από:
2 Εκατοντάδες, 6 Δεκάδες και 8 Μονάδες
ή 2 Ε 6 Δ και 8 Μ
και μπορεί να γραφτεί ως εξής:
200 + 60 + 8 =268
Οριζόντια Πρόσθεση
Όταν θέλω να προσθέσω διψήφιους ή τριψήφιους αριθμούς οριζόντια:
Διαχωρίζω τους αριθμούς σε εκατοντάδες, δεκάδες και μονάδες. Έπειτα προσθέτω τις εκατοντάδες με τις εκατοντάδες, τις δεκάδες με τις δεκάδες και τις μονάδες με τις μονάδες. Τέλος προσθέτω τους αριθμούς.
Πχ: 142 + 356 = ;
100 + 300 = 400
40 + 50 = 90
2 + 6 = 8
-----------------------------
498
Κάθετη Πρόσθεση
Όταν θέλω να προσθέσω διψήφιους ή τριψήφιους αριθμούς κάθετα:
Α) Πρόσθεση χωρίς κρατούμενο
Βάζω τον ένα αριθμό κάτω από τον άλλο αριθμό προσέχοντας να είναι οι μονάδες κάτω από τις μονάδες, οι δεκάδες κάτω από τις δεκάδες και οι εκατοντάδες κάτω από τις εκατοντάδες. Στη συνέχεια προσθέτουμε μονάδες με μονάδες, δεκάδες με δεκάδες και εκατοντάδες με εκατοντάδες.
Ε Δ Μ
+ Ε Δ Μ
------------
|
Πχ: 64 + 25 = ;
- Γράφω την πράξη όπως στο κουτάκι και λέω 4+5=9.
- Γράφω το 9 κάτω από τις μονάδες.
- Έπειτα λέω 6+2=8 και γράφω το 8 κάτω από τις δεκάδες.
- Άρα 64+25 μας κάνει 89.
| 6 4 --> πρώτος προσθετέος + 2 5 --> δεύτερος προσθετέος ________ 8 9 --> άθροισμα |
Β) Πρόσθεση με κρατούμενο
Πχ: 69+24= ;
- Προσθέτω τις μονάδες του ενός προσθετέου με τις μονάδες του άλλου προσθετέου: 9+4=13.
- Γράφω το 3 (τις μονάδες) και κρατάω το 1 (δεκάδα), το οποίο ονομάζουμε κρατούμενο
- 1 το κρατούμενο και 6 μας κάνει 7 …. Και 2 μας κάνει 9… οπότε γράφω 9 (στις δεκάδες)
6 9
+ 2 4
--------
9 3
|
Γεωμετρικά σχήματα
Στερεά σώματα
Κεφάλαιο 4: Πολλαπλασιασμός, προπαίδεια (Ι)
Προπαίδεια 1 - 5
Προπαίδεια 1
|
Προπαίδεια 2
|
Προπαίδεια 3
|
Προπαίδεια 4
|
Προπαίδεια 5
|
1 x 1 = 1
2 x 1 = 2
3 x 1 = 3
4 x 1 = 4
5 x 1 = 5
6 x 1 = 6
7 x 1 = 7
8 x 1 = 8
9 x 1 = 9
10 x 1 = 10
|
1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
5 x 2 = 10
6 x 2 = 12
7 x 2 = 14
8 x 2 = 16
9 x 2 = 18
10 x 2 = 20
|
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12
5 x 3 = 15
6 x 3 = 18
7 x 3 = 21
8 x 3 = 24
9 x 3 = 27
10 x 3 = 30
|
1 x 4 = 4
2 x 4 = 8
3 x 4 = 12
4 x 4 = 16
5 x 4 = 20
6 x 4 = 24
7 x 4 = 28
8 x 4 = 32
9 x 4 = 36
10 x 4 = 40
|
1 x 5 = 5
2 x 5 = 10
3 x 5 = 15
4 x 5 = 20
5 x 5 = 25
6 x 5 = 30
7 x 5 = 35
8 x 5 = 40
9 x 5 = 45
10 x 5 = 50
|
Με τον πολλαπλασιαμό βρίσκω:
- την ποσότητα που σχηματίζεται από την επανάληψη μιας άλλης ποσότητας
Παράδειγμα: Ο Πέτρος έχει 2 μολύβια. Ο Σταύρος έχει 4 φορές περισσότερα μολύβια από τον Πέτρο. Πόσα μολύβια έχει ο Σταύρος;
Σκέφτομαι:
|
Γνωρίζω:
- Πόσα μολύβια που έχει ο Πέτρος (2).
- Πόσες φορές περισσότερα είναι τα μολύβια του Σταύρου (4).
Δε γνωρίζω:
- Τα μολύβια που έχει ο Σταύρος (;).
| ||
Λύνω:
|
Μπορούμε να βρούμε πόσα μολύβια έχει ο Σταύρος προσθέτωντας 4 φορές τον αριθμό 2 ή πολλαπλασιάζοντας το 4 με το 2:
| ||
Απαντώ:
|
Ο Σταύρος έχει 8 μολύβια.
|
- τα "πολλά" από το "ένα"
Παράδειγμα: Στο τρενάκι του λούνα παρκ, σε κάθε βαγόνι χωράνε 4 παιδιά. Πόσα παιδιά χωράνε σε 7 βαγόνια;
Σκέφτομαι:
|
Γνωρίζω:
- Τον αριθμό των παιδιών που χωράνε σε κάθε βαγόνι (4).
- Τον αριθμό των βαγονιών (7).
Δε γνωρίζω:
- Το συνολικό αριθμό των παιδιών που χωράνε σε 7 βαγόνια.
| ||
Λύνω:
|
Μπορούμε να βρούμε το συνολικό αριθμό των παιδιών που χωράνε στα βαγόνια προσθέτωντας 7 φορές τον αριθμό 4 ή πολλαπλασιάζοντας το 7 με το 4:
| ||
Απαντώ:
| Σε 7 βαγόνια χωράνε 28 παιδιά. |
Κεφάλαιο 5: Πολλαπλασιασμός, προπαίδεια (ΙΙ)
Προπαίδεια 6 - 10
Προπαίδεια 6
|
Προπαίδεια 7
|
Προπαίδεια 8
|
Προπαίδεια 9
|
Προπαίδεια 10
|
1 x 6 = 6
2 x 6 = 12
3 x 6 = 18
4 x 6 = 24
5 x 6 = 30
6 x 6 = 36
7 x 6 = 42
8 x 6 = 48
9 x 6 = 54
10 x 6 = 60
|
1 x 7 = 7
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
8 x 7 = 56
9 x 7 = 63
10 x 7 = 70
|
1 x 8 = 8
2 x 8 = 16
3 x 8 = 24
4 x 8 = 32
5 x 8 = 40
6 x 8 = 48
7 x 8 = 56
8 x 8 = 64
9 x 8 = 72
10 x 8 = 80
|
1 x 9 = 9
2 x 9 = 18
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
5 x 9 = 45
6 x 9 = 54
7 x 9 = 63
8 x 9 = 72
9 x 9 = 81
10 x 9 = 90
|
1 x 10 = 10
2 x 10 = 20
3 x 10 = 30
4 x 10 = 40
5 x 10 = 50
6 x 10 = 60
7 x 10 = 70
8 x 10 = 80
9 x 10 = 90
10 x 10 = 100
|
Με τον πολλαπλασιαμό βρίσκω:
- την ποσότητα που σχηματίζεται από την επανάληψη μιας άλλης ποσότητας
- τα "πολλά" από το "ένα"
Πυθαγόρειος Πίνακας
Παρακάτω βλέπουμε τον Πυθαγόρειο Πίνακα όπου μπορούμε να βρούμε το γινόμενο οποιωνδήποτε αριθμών από το 1 μέχρι το 12.
Αν θέλω, για παράδειγμα, να βρω πόσο κάνει 4 x 6 = ; βάζω το ένα μου δαχτυλάκι στο 4 και το άλλο στο 6 και τα κινώ το ένα κάθετα και το άλλο οριζόντια μέχρι να βρω που θα συναντηθούν. Αν το κάνω θα δω ότι συναντιούνται στο 24. Άρα 4 x 6 = 24.
Κεφάλαιο 6: Πολλαπλασιασμός και διαίρεση
Πολλαπλασιαμός
Με τον πολλαπλασιαμό βρίσκω:
- την ποσότητα που σχηματίζεται από την επανάληψη μιας άλλης ποσότητας
- τα "πολλά" από το "ένα".
Διαίρεση
Με τη διαίρεση βρίσκω:
- το "ένα" από τα "πολλά"
Παράδειγμα: Η Μυρτώ είχε 24 καραμέλες και τις μοίρασε εξίσου σε 3 σακουλάκια. Πόσες καραμέλες περιέχει κάθε σακουλάκι;
Σκέφτομαι:
|
Γνωρίζω:
- Πόσες καραμέλες έχει η Μυρτώ (24).
- Σε πόσα σακουλάκια έβαλε τις καραμέλες (3).
Δε γνωρίζω:
- Πόσες καραμέλες έβαλε σε κάθε σακουλάκι (;).
|
Λύνω:
| 
Μπορούμε να βρούμε πόσες καραμέλες έβαλε σε κάθε σακουλάκι μοιράζοντας εξίσου τις καραμέλες στα σακουλάκια. Θα κάνουμε διαίρεση μερισμού:
24 : 3 = 8, επειδή 8 x 3 = 28
|
Απαντώ:
|
Κάθε σακουλάκι περιέχει 8 καραμέλες.
|
- το πλήθος των "πολλών"
Παράδειγμα: Ο κύριος Σπύρος αγόρασε ένα κουτί με 15 σοκολατάκια και τα μοίρασε εξίσου στα εγγόνια του. Σε κάθε παιδί έδωσε 5 σοκολατάκια. Πόσα εγγόνια έχει ο κύριος Σπύρος;
Σκέφτομαι:
|
Γνωρίζω:
- Πόσα σοκολατάκια μοίρασε ο κύριος Σπύρος (15).
- Πόσα σοκολατάκια έδωσε σε κάθε παιδί (5).
Δε γνωρίζω:
- Πόσα είναι τ αεγγόνια του κύριου Σπύρου (;).
|
Λύνω:
|
Μπορούμε να βρούμε πόσα ήταν τα παιδιά μοιράζοντας τα σοκολατάκια σε ομάδες των 5. Θα κάνουμε διαίρεση μέτρησης:
15 : 5 = 3, επειδή 3 x 5 = 15
|
Απαντώ:
|
Ο κύριος Σπύρος έχει 5 εγγόνια.
|
O πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες.
Έτσι: 4 x 6 = 24 και 6 x 4 = 24
24 : 6 = 4 και 24 : 4 = 6
Κεφάλαιο 7: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι ότι ένας τριψήφιος αριθμός αποτελείται από: Εκατοντάδες, Δεκάδες και Μονάδες (βλ. κεφ.1)
Θυμάμαι την οριζόντια και κάθετη πρόσθεση (βλ. κεφ.2)
Θυμάμαι τα Γεωμετρικά σχήματα και τα Στερεά σώματα (βλ. κεφ.3)
Θυμάμαι την προπαίδεια από το 1 έως το 10 (βλ. κεφ.4 και κεφ.5)
Θυμάμαι πως με τον πολλαπλασιαμό βρίσκω:
την ποσότητα που σχηματίζεται από την επανάληψη μιας άλλης ποσότητας
τα "πολλά" από το "ένα"
Θυμάμαι πως με τη διαίρεση βρίσκω:
το "ένα" από τα "πολλά"
το πλήθος των "πολλών"
Θυμάμαι ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες.
Ενότητα 2 - Μετρήσεις μήκους - Πράξεις αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού - Στερεά σώματα
Κεφάλαιο 8: Μέτρηση μηκών με εκατοστά και χιλιοστά
Η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το μέτρο.
Το μέτρο έχει υποδιαιρέσεις το εκατοστό και το χιλιοστό:
10 χιλιοστά = 1 εκατοστό
|
| 1.000 χιλιοστά = 100 εκατοστά =1 μέτρο |
Κεφάλαιο 9: Στερεά σώματα - αναπτύγματα
Στερεά σώματα και αναπτύγματα
Αν ξεδιπλώσω τα στερεά σώματα φτιάχνω τα αναπτύγματά τους.
Τα τετράγωνα που φτιάχνουν έναν κύβο, τα λέμε έδρες
του κύβου.
Ο κύβος έχει 6 έδρες.
|
Τα ορθογώνια που φτιάχνουν ένα παραλληλεπίπεδο, τα λέμε έδρες.
Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει 6 έδρες.
|
Τα τρίγωνα που φτιάχνουν μία πυραμίδα, τα λέμε έδρες.
Η τετραγωνική πυραμίδα
έχει 4 έδρες.
|
Ακμές, κορυφές και έδρες στερεών σωμάτων
| Η ένωση δύο πλευρών φτιάχνει μια γραμμή που τη λέμε ακμή. Το σημείο που ενώνονται 3 έδρες το λέμε κορυφή. |  |
Κεφάλαιο 10: Αφαιρέσεις διψήφιων και τριψηφίων αριθμών
Ένας αριθμός για να αφαιρείται από έναν άλλο, πρέπει να είναι μικρότερος από αυτόν ή ίσος με αυτόν. Πχ: 7 - 2 = 5, 3 - 3 = 0, αλλά δε λέμε 5 - 9 = ;;;;
Όταν θέλω να αφαιρέσω αριθμούς κάθετα:
Αφαίρεση χωρίς κρατούμενο
Βάζω τον μεγαλύτερο αριθμό πάνω από τον μικρότερο αριθμό προσέχοντας να είναι οι μονάδες κάτω από τις μονάδες, οι δεκάδες κάτω από τις δεκάδες και οι εκατοντάδες κάτω από τις εκατοντάδες. Στη συνέχεια αφαιρούμε μονάδες από μονάδες, δεκάδες από δεκάδες και εκατοντάδες από εκατοντάδες.
Ε Δ Μ
- Ε Δ Μ ------------ |
Πχ: 67 - 25 = ;
- Γράφω την πράξη όπως στο κουτάκι και λέω 7-5=2.
- Γράφω το 2 κάτω από τις μονάδες.
- Έπειτα λέω 6-2=4 και γράφω το 4 κάτω από τις δεκάδες.
- Άρα 67-25=42.
6 7 --> μειωτέος
- 2 5 --> αφαιρετέος --------- 4 2 --> διαφορά |
Αφαίρεση με κρατούμενο
Πχ: 63 - 45 = ;
- Σκέφτομαι: το 5 δεν αφαιρείται από το 3.
- Δανείζομαι λοιπόν 1 δεκάδα, την οποία τη λέμε κρατούμενο.
- Τώρα λέω: 3 μονάδες που είχαμε και η δεκάδα που δανειστήκαμε μας δίνουν 13 μονάδες. 13 βγάζω 5 μας κάνει 8 ( 13 – 5 = 8 ).
- Γράφουμε το 8 στη στήλη των μονάδων και 1 το κρατούμενο στο κυκλάκι.
- Προσθέτουμε το κρατούμενο 1 στο 4: (1 + 4 = 5).
- Μετά λέμε 6 βγάζω 5 μας κάνει 1 ( 6 – 1 = 5 ) και γράφουμε το 1 στη στήλη των δεκάδων.
6 3
+ 4 5 -------- 1 8 |
Κεφάλαιο 11: Πολλαπλασιασμοί διψήφιου με μονοψήφιο αριθμό
Προπαίδεια του 11, 12 και 13.
Προπαίδεια του 11
|
Προπαίδεια του 12
|
Προπαίδεια του 13
|
1 x 11 = 11
2 x 11 = 22
3 x 11 = 33
4 x 11 = 44
5 x 11 = 55
6 x 11 = 66
7 x 11 = 77
8 x 11 = 88
9 x 11 = 99
10 x 11 = 110
|
1 x 12 = 12
2 x 12 = 24
3 x 12 = 36
4 x 12 = 48
5 x 12 = 60
6 x 12 = 72
7 x 12= 84
8 x 12 = 96
9 x 12 = 108
10 x 12 = 120
|
1 x 13 = 13
2 x 13 = 26
3 x 13 = 39
4 x 13 = 52
5 x 13 = 65
6 x 13 = 78
7 x 13 = 91
8 x 13 = 104
9 x 13 = 117
10 x 13= 130
|
Ανάλυση αριθμών
Ο αριθμός 647 μπορεί να αναλυθεί ως εξής: 647 = 600 + 40 + 7 = (6 x 100) + (4 x 10 ) + 7
Πολλαπλασιασμός Δεκάδων ή Εκατοντάδων, όπως το 10, το 100, το 20, το 200, το 30, το 300 κλπ., με μονοψήφιο αριθμό
Για να πολλαπλασιάσω Δεκάδες ή Εκατοντάδες, όπως το 10, το 100, το 20, το 200, το 30, το 300 κλπ., με μονοψήφιο αριθμό :
Πχ: 200 x 3 = ; Πολλαπλασιάζω το 2 x 3 = 6 και βάζω δίπλα στο 6 τα μηδενικά των Εκατοντάδων, δηλαδή 200 x 3 = 600 |
Πολλαπλασιασμός διψήφιου με μονοψήφιο αριθμό
Όταν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε ένα διψήφιο αριθμό με έναν μονοψήφιο σκεφτόμαστε ως εξής:
Πχ: 7 x 16 = ; Επειδή δε γνωρίζω το συγκεκριμένο γινόμενο απ’ έξω, σκέφτομαι ότι το 16 «σπάει» σε 10 και 6 -->16 = 10 + 6 άρα λέω:
7 x 16 =
7 x (10 + 6) =
(7 x 10) +(7 x 6) =
70 + 42 =
112
7x16= 7 x (10 + 6) = (7 x 10) + (7 x 6) = 70 + 42 = 112 |
Κεφάλαιο 12: Προβλήματα
- Για να λύσεις ένα πρόβλημα, πρέπει αρχικά να διαβάζεις με πολύ προσοχή την εκφώνησή του.
- Έπειτα πρέπει να σημειώνεις αυτά που σου δίνει το πρόβλημα (δηλαδή αυτά που γνωρίζεις) και αυτά που δε γνωρίζεις (δηλαδή αυτά που ψάχνεις να βρεις).
- Μετά προσπαθείς να καταλάβεις με ποια ή ποιες πράξεις θα οδηγηθείς σε αυτά που ψάχνεις χρησιμοποιώντας αυτό που ξέρεις.
Παράδειγμα:
Η βιβλιοθήκη του παππού έχει 8 ράφια. Σε κάθε ράφι έιναι τοποθετημένα 34 βιβλία. Πόσα είναι όλα τα βιβλία που υπάρχουν στη βιβλιοθήκη;
| Γνωρίζω: | Τον αριθμό των ραφιών της βιβλιοθήκης (8). Τον αριθμό βιβλίων που είναι τοποθετημένα σε κάθε ράφι (34). |
| Ψάχνω: | Πόσα έιναι όλα τα βιβλία της βιβλιοθήκης. |
| Λύση: | Θα βρω πόσα είναι όλα τα βιβλία της βιβλιοθήκης αν πολλαπλασιάσω τον αριθμό των βιβλίων που χωρούν σε ένα ράφι με τον αριθμό των ραφιών. Δηλαδή: 34 x 8 34 x 8 = (30 + 4) x 8 = (30 x 8) + (4 x 8) = 240 + 32 = 272 |
| Απάντηση: | Τα βιβλία της βιβλιοθήκης είναι 272. |
Κεφάλαιο 13: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι πώς μετρώ το μήκος (βλ. κεφ.8).
Θυμάμαι τα στερεά σώματα και τα αναπτύγματά τους (βλ. κεφ.9)
Θυμάμαι πώς κάνω αφαίρεση διψήφιων και τριψήφιων αριθμών (βλ. κεφ.10)
Θυμάμαι πώς κάνω πολλαπλασιασμό διψήφιου με μονοψήφιο αριθμό. (βλ. κεφ.11)
Ενότητα 3: Αριθμοί μέχρι το 3.000 - Οι τέσσερις πράξεις - Χαράξεις - Ορθές γωνίες
Κεφάλαιο 14: Αριθμοί μέχρι το 3.000
Μονάδες, Δεκάδες, Εκατοντάδες, Χιλιάδες
Ένας τετραψήφιος αριθμός αποτελείται από : Χιλιάδες, Εκατοντάδες, Δεκάδες και Μονάδες
πχ: Ο αριθμός 2.768 αποτελείται από:
2 Χιλιάδες, 7 Εκατοντάδες, 6 Δεκάδες και 8 Μονάδες
ή 2 Χ 7 Ε 6 Δ και 8 Μ
και μπορεί να γραφτεί ως εξής:
2.000 + 700 + 60 + 8 = 2.768
Κεφάλαιο 15: Προσθέσεις και αφαιρέσεις
Πρόσθεση τριψήφιων αριθμών αριθμών
Θυμάμαι από την προηγούμενη ενότητα πώς κάνω πρόσθεση κάθετα.
Προσοχή όμως! Η πρόσθεσή μου μπορεί να έχει περισσότερα από 1 κρατούμενα. Πχ: 356 + 297= ;
- Τοποθετώ τις Μονάδες κάτω από τις Μονάδες, τις Δεκάδες κάτω από τις Δεκάδες και τις Εκατοντάδες κάτω από τις Εκατοντάδες.
- 6 και 7 μας κάνουν 13. Γράφω το 3 και κρατάω το ένα στο κυκλάκι (κρατούμενο).
- Συνεχίζω. 9 και 5 μας κάνουν 14 ... και 1 το κρατούμενο μας κάνει 15. Σβήνω το κρατούμενο για να μην μπερδεύομαι. Γραφώ το 5 και κρατάω το 1 στο κυκλάκι (κρατούμενο).
- 3 και 2 μας κάνει 5 ... και 1 το κρατούμενο μας κάνει 6. Γράφω το 6. Το άθροισμα (αποτέλεσμα) της πρόσθεσης είναι ο αριθμός 653.
| 3 5 6 + 2 8 7 ----------- | 3 5 6 + 2 8 7 ----------- 3 | 3 5 6  + 2 8 7 ----------- 5 3 | 3 5 6 + 2 8 7 ----------- 6 5 3 |
Αφαίρεση τριψήφιων αριθμών αριθμών
Θυμάμαι από την προηγούμενη ενότητα πως κάνω αφαίρεση κάθετα.
Προσοχή όμως! Η αφαίρεσή μου μπορεί να έχει περισσότερα από 1 κρατούμενα. Πχ: 675 - 289= ;
- Τοποθετώ τις Μονάδες κάτω από τις Μονάδες, τις Δεκάδες κάτω από τις Δεκάδες και τις Εκατοντάδες κάτω από τις Εκατοντάδες.
- 5 βγάζω 9 ... δε γίνεται. Δανείζομαι ένα 1 (μία Δεκάδα) και κρατάω το 1 στο κυκλάκι (κρατούμενο). Το 5 γίνεται 15. 15 βγάζω 9 μας κάνει 6. Γράφω το 6.
- Συνεχίζω. 1 το κρατούμενο και 8 ... μας κάνει 9. Σβήνω το κρατούμενο για να μην μπερδεύομαι. 7 βγάζω 9 δε γίνεται. Δανείζομαι ένα 1 (μία Δεκάδα) και κρατάω το 1 στο κυκλάκι (κρατούμενο). Το 7 γίνεται 17. 17 βγάζω 9 ... μας κάνει 8. Γραφώ το 8.
- 1 το κρατούμενο και 2 ... μας κάνει 3. 6 βγάζω 3 μας κάνει 3. Γράφω το 3. Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης (διαφορά) είναι ο αριθμός 386.
| 6 7 5 - 2 8 9 ----------- | 6 7 5 - 2 8 9 ----------- 6 | 6 7 5 - 2 8 9 ----------- 8 6 | 6 7 5 - 2 8 9 ----------- 3 8 6 |
Για να ελέγξω αν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι σωστό κάνω την αντίστροφη πράξη. Δηλαδή προσθέτω το αποτέλεσμα που βρήκα (διαφορά) με τον αφαιρετέο της αφαίρεσης. Αν το αποτέλεσμα που βρω είναι ο μειωτέος τότε η πράξη μου είναι σωστή.
Πχ: Για να δω αν η παραπάνω πράξη (675 - 289= 386) που έκανα είναι σωστή, λέω:
Αφού το αποτέλεσμα της πρόσθεσης είναι το 675, η αφαίρεση που έκανα είναι σωστή.
Κεφάλαιο 16: Χαράξεις με διαβήτη και χάρακα. Ορθές γωνίες
Κάθετες ευθείες
Με το γνώμονα (το τριγωνάκι μας) ελέγχουμε αν δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους.
Τοποθετούμε το γνώμονα -με τις κάθετες πλευρές του- ανάμεσα στις δύο ευθείες. Αν οι πλευρές του γνώμονα πέφτουν πάνω στις ευθείες (δηλαδή συμπίπτουν), τότε είναι κάθετες (σχήμα α). Αν δε πέφτουν πάνω στις ευθείες (δηλαδή δε συμπίπτουν) δεν είναι κάθετες (σχήματα β, γ, δ).
Ορθές γωνίες
| Όταν δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους, η γωνία ή οι γωνίες που σχηματίζονται λέγονται ορθές. Και συμβολίζονται όπως βλέπεις στο σχήμα. |  |
Παράλληλες ευθείες
Δύο ευθείες είναι παράλληλες όταν, όσο κι αν τις προεκτείνουμε, δεν πρόκειται να συναντηθούν ποτέ.
Διαβήτης
Για να σχεδιάσω έναν κύκλο χρησιμοποιώ το διαβήτη. Τοποθετώ τη μύτη του διαβήτη εκεί
που θέλω να είναι το κέντρο του κύκλου και τον ανοίγω ανάλογα με το πόσο μεγάλο θέλω να
τον κάνω. Όσο πιο μεγάλο κάνω το άνοιγμα του διαβήτη τόσο πιο μεγάλος γίνεται ο κύκλος.
|  |
Κεφάλαιο 17: Πολλαπλασιασμοί
Πολλαπλασιασμός διψήφιου αριθμού με μονοψήφιο
Αν θέλω να υπολογίσω, για παράδειγμα, το γινόμενο 14 x 6 μπορώ να σκεφτώ με τον εξής τρόπο:
| - Αναλύω το 14 σε 10 και 4. (Δηλαδή πιο "εύκολους" αριθμούς) 14 x 6 = (10 + 4) x 6 - Πολλαπλασιάζουμε -ξεχωριστά- το 10 με το 6 και το 4 με το 6. 14 x 6 = (10 + 4) x 6 = (10x6) + (4x6) - Γράφουμε το αποτέλεσμα των πολλαπλασιασμών. 14 x 6 = (10 + 4) x 6 = (10x6) + (4x6) = 60 + 24 - Προσθέτουμε τα γινόμενα. 14 x 6 = (10 + 4) x 6 = (10x6) + (4x6) = 60 + 24 = 84 |
Θυμάμαι ότι: O πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες.
Για να κάνω μια διαίρεση, πχ: 48:6= ;
Σκέφτομαι ποιο γινόμενο του 6 μου δίνει αποτέλεσμα πιο κοντά στο 48 χωρίς να το ξεπερνάει. Δηλαδή, με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 6 για να μου δίνει αριθμό ίσο ή μικρότερο του 48.
Σκέφτομαι την προπαίδεια του 6:
1x6=6, 2x6=12, 3x6=18, 4x6=24, 5x6=30, 6x6=36, 7x6=42, 8x6=48 !
Ωπ! 48! Άρα το 6 στο 48 χωράει 8 φορές!
Συνεπώς γράφω: 48 : 6 = 8
|
Όμως κάποιες φορές μπορεί να περισσεύει κάτι..., πχ: 50:6=;
| Σκέφτομαι ποιο γινόμενο του 6 μου δίνει αποτέλεσμα πιο κοντά στο 50 χωρίς να το ξεπερνάει. Δηλαδή, με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 6 για να μου δίνει αριθμό ίσο ή μικρότερο του 50. Σκέφτομαι την προπαίδεια του 6: 1x6=6, 2x6=12, 3x6=18, 4x6=24, 5x6=30, 6x6=36, 7x6=42, 8x6=48 !, 9x6=54 ! Το 54 ξεπερνάει το 50, γι’ αυτό διαλέγω το 48 που είναι μικρότερο από το 50. Άρα το 6 χωράει 8 φορές στο 50 (6x8=48) αλλά περισσεύουν και 2 (50-48=2). Συνεπώς γράφω: 50 = ( 6 x 8 ) + 2 |
Κεφάλαιο 19: Προβλήματα
- Για να λύσεις ένα πρόβλημα, πρέπει αρχικά να διαβάζεις με πολύ προσοχή την εκφώνησή του.
- Έπειτα πρέπει να σημειώνεις αυτά που σου δίνει το πρόβλημα (δηλαδή αυτά που γνωρίζεις) και αυτά που δε γνωρίζεις (δηλαδή αυτά που ψάχνεις να βρεις).
- Μετά προσπαθείς να καταλάβεις με ποια ή ποιες πράξεις θα οδηγηθείς σε αυτά που ψάχνεις χρησιμοποιώντας αυτό που ξέρεις.
Παράδειγμα:
Η Κορίνα μάζεψε από την παραλία 75 βότσαλα. Θέλει να τα βάλει σε σακουλάκια, που το καθένα χωράει 9 βότσαλα. α) Πόσα σακουλάκια θα χρειαστεί; β) Πόσα βότσαλα θα περισσέψουν;
| Γνωρίζω: | Πόσα βότσαλα μάζεψε η Κορίνα (85). Πόσα βότσαλα χωρούν σε κάθε σακουλάκι (9). |
| Ψάχνω: | α) Πόσα σακουλάκια θα χρειαστεί η Κορίνα. β) Πόσα βότσαλα θα περισσέψουν. |
| Λύση: | Πρέπει να ομαδοποιήσω τα 75 βότσαλα σε ομάδες που περιέχουν 9 βότσαλα η κάθεμία και να βρω πόσες ομάδες δημιουργήθηκαν. Άρα θα διαιρέσω 75:9. Όμως η διαίρεση δεν είναι τέλεια αφού 8x9= 72 και 9x9=81. Οπότε λέω: 75=(8x9)+2 όπου 75 όλα τα βότσαλα, 8 τα σακουλάκια, 9 τα βότσαλα που χωρούν σε ένα σακουλάκι και 2 τα βότσαλα που περισσεύουν. |
| Απάντηση: | α) Η Κορίνα θα χρειαστεί 8 σακουλάκι. β) Θα περισσέψουν 2 βότσαλα. |
Κεφάλαιο 20: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι την αξία θέσης ψηφίου τετραψήφιων αριθμών (βλ. κεφ.14).
Θυμάμαι πώς κάνω πρόσθεση και αφαίρεση τριψήφιων αριθμών (βλ. κεφ15)
Θυμάμαι τις κάθετες και παράλληλες ευθείες, την ορθή γωνία (βλ. κεφ.16)
Θυμάμαι πώς κάνω οριζόντιο πολλαπλασιασμό. (βλ. κεφ.17)
Θυμάμαι πώς κάνω διαιρέση ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. (βλ. κεφ.18)
Κεφάλαιο 21: Κριτήριο Αξιολόγησης
Ενότητα 4: Εισαγωγή στα απλά κλάσματα
Κεφάλαιο 22: Εισαγωγή στα κλάσματα
Έχω μια σοκολάτα και τη χωρίζω σε δύο ίσα μέρη. Παίρνω το ένα από τα δύο ίσα μέρη. Το γράφω με
τον κλασματικό αριθμό:
Το διαβάζω "ένα δεύτερο".
Όταν έχω λοιπόν μια μονάδα μπορώ να την χωρίσω (μοιράσω) σε ίσα μέρη.
Πχ: Ένα μπισκότο το χωρίζω σε 4 ίσα μέρη και παίρνω το ένα μέρος. Το γράφω με τον κλασματικό αριθμό:
και λέω ότι έχω πάρει το "ένα τέταρτο"
Τη σοκολάτα αυτή μπορώ να τη χωρίσω με πολλούς τρόπους εκτός από τον παραπάνω!
Για παράδειγμα μπορώ να τη χωρίσω έτσι και να λέω ότι πήρα το "ένα έκτο" ή το "ένα τρίτο":
Αριθμητής και Παρονομαστής
Σε ένα κλάσμα το πάνω μέρος το ονομάζουμε αριθμητή και το κάτω παρονομαστή.
Άξονας συμμετρίας
Ο άξονας συμμετρίας χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσα μέρη.
Πχ: Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη με 2 διαφορετικούς τρόπους.
Κεφάλαιο 23: Οι κλασματικές μονάδες
Χωρίζω τον κύκλο σε δύο μέρη, μετά τον χωρίζω σε τέσσερα ίσα μέρη και στη συνέχεια τον χωρίζω σε οκτώ ίσα μέρη.
Τα 
είναι κλασματικές μονάδες, γιατί κάθε φορά παίρνω ένα κομμάτι από αυτά που χώρισα (μοίρασα).
είναι κλασματικές μονάδες, γιατί κάθε φορά παίρνω ένα κομμάτι από αυτά που χώρισα (μοίρασα).
Παρατήρηση:
Όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής, τόσο μικρότερο είναι το κομμάτι που θα πάρουμε.
Για παράδειγμα αν έχω δύο ίδιες σοκολάτες και χωρίσω τη μία σε δύο κομμάτια και την άλλη σε 3 κομμάτια και φάω το ένα κομμάτι από κάθε σοκολάτα θα φάω περισσότερο από την πρώτη σοκολάτα.
Κλασματική μονάδα έχω όταν παίρνω το ένα από τα ίσα μέρη στα οποία έχω χωρίσει (μοιράσει) την ακέραια μονάδα. Αριθμητής σε μια κλασματική μονάδα είναι το 1.
Κεφάλαιο 24: Οι κλασματικές μονάδες και οι απλοί κλασματικοί αριθμοί
Κλασματικοί αριθμοί
Παραδείγματα κλασματικών αριθμών:
Στο τελευταίο σχήμα παρατηρούμε ότι οι κλασματικοί αριθμοί που έχουν ίδιο αριθμητή και παρονομαστή είναι ίσοι με την ακεραία μονάδα.
Πχ:
Στο διπλανό σχήμα έχουμε χρωματίσει και τα 6 κομμάτια του ορθογωνίου. Το έχουμε δηλαδή χρωματίσει όλο. Οπότε μπορούμε να πούμε ότι ισούται με τη μονάδα (1).
Προσοχή: Αν μου δώσουν ένα σχήμα σαν αυτό:
και μου πουν να χρωματίσω το 
ενώ το σχήμα είναι χωρισμένο σε 4 κομμάτια θα πρέπει να σκεφτώ έναν τρόπο να το ξαναχωρίσω σε 2 κομμάτια. Δηλαδή:
ενώ το σχήμα είναι χωρισμένο σε 4 κομμάτια θα πρέπει να σκεφτώ έναν τρόπο να το ξαναχωρίσω σε 2 κομμάτια. Δηλαδή:
Έτσι θα το έχω χωρίσει σε δύο κομμάτια και θα μπορώ να χρωματίσω το . Δηλαδή:
. Δηλαδή:
Κεφάλαιο 25: Ισοδύναμα κλάσματα
Οι κλασματικοί αριθμοί που έχουν διαφορετικό αριθμητή και διαφορετικό παρονομαστή ο ένας από τον άλλο, αλλά έχουν ίση αξία, ονομάζονται ισοδύναμα κλάσματα.
Παράδειγμα:
Και στα τρία παραπάνω όμοια σχήματα έχουμε χρωματίσει το ίδιο μέρος παρόλο που δεν έχουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό. Έτσι λέμε ότι τα παραπάνω κλάσματα είναι ισοδύναμα και τα συμβολίζουμε έτσι:
Παράδειγμα με το ευρώ
 |
Τι μέρος του ενός ευρώ είναι ένα νόμισμα των 50 λεπτών;
Τι μέρος του ενός ευρώ είναι 5 νομίσματα των 10 λεπτών;
Τι παρατηρούμε;
Τα παραπάνω κλάσματα είναι ισοδύναμα.
|
Κεφάλαιο 26: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι τι είναι το κλάσμα και τα μέρη του (βλ. κεφ.22).
Θυμάμαι ποιες είναι οι κλασματικές μονάδες (βλ. κεφ.23).
Θυμάμαι τι είναι ο άξονας συμμετρίας (βλ. κεφ.23).
Θυμάμαι ποιοι είναι οι απλοί κλασματικοί αριμοί (βλ. κεφ.24).
Θυμάμαι τι είναι τα ισοδύναμα κλάσματα (βλ. κεφ. 25).
Ενότητα 5: Προσθέσεις και αφαιρέσεις - Αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού
Κεφάλαιο 27: Προσθέσεις και αφαιρέσεις με τετραψήφιους αριθμούς
Οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις τετραψήφιων αριθμών γίνονται με τον ίδιο τρόπο που γίνονται για μικρότερους αριθμούς.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα:
Προσθέσεις:
χωρίς κρατούμενο
|
με 1 κρατούμενο
|
με 2 κρατούμενα
|
 |  |  |
Αφαιρέσεις:
χωρίς κρατούμενο
|
με 1 κρατούμενο
|
με 2 κρατούμενα
|
 |  |  |
Θυμάμαι πώς για να ελέγξω αν η αφαίρεσή μου είναι σωστή κάνω επαλήθευση: δηλαδή κάνω την αντίθετη πράξη (κάνω πρόσθεση). Π.χ.:
Κεφάλαιο 28: Προς τον πολλαπλασιασμό (Ι)
Θέλω να βρω το γινόμενο 17 x 24
- Κόβω ένα τετραγωνισμένο χαρτί, που έχει 17 σειρές και 24 στήλες
- Χωρίζω τα κουτάκια όπως στην εικόνα.
Αναλύω δηλαδή τον αριθμό 17 σε 10 και 7 και τον αριθμό 24 σε 10 και 10 και 4.
- Υπολογίζω τα επιμέρους γινόμενα δηλαδή πολλαπλασιάζω τον αριθμό των σειρών με τον αριθμό των στηλών σε κάθε ορθογώνιο ή τετράγωνο που σχηματίζεται. Δηλαδή:
10 x 10 = 100
10 x 10 = 100
10 x 4 = 40
7 x 10 = 70
7 x 10 = 70
7 x 4 = 28
|
- Προσθέτω όλα τα γινόμενα που βρήκα: 100 + 100 + 40 +70 +70 + 28 =408
- Το άθροισμά τους είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού που ζητάω. Άρα 17 x 24 = 408
Κεφάλαιο 29: Προς τον πολλαπλασιασμό (ΙΙ)
Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός
Έχουμε ένα τετραγωνισμένο χαρτί, που έχει 25 σειρές και 47 στήλες με τετραγωνάκια. Πώς μπορούμε να τα υπολογίσουμε;
Θέλουμε να βρούμε
το γινόμενο
25 x 47
- Αναλύω τους αριθμούς 25 και 47 στις δεκάδες και τις μονάδες τους.
Δηλαδή: 25 = 20 + 5 και 47 = 40 + 7
- Σχεδιάζω τον παραπάνω πίνακα.
- Γράφω τις δεκάδες και τις μονάδες στον πινάκα.
- Βρίσκω τα επιμέρους γινόμενα μέσα στα κουτάκια του πίνακα, δηλαδή:
20 x 40 =800
20 x 7 = 140
5 x 4 = 200
5 x 7 = 35
|
- Προσθέτω όλα τα γινόμενα που βρήκα: 800 + 200 + 140 + 35 = 1.175
- Τα αποτέλεσμα που βρήκα είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού 25 x 47 = 1.175
Αυτή η διαδικασία του πολλαπλασιασμού είναι γνωστή σαν "ελληνικός πολλαπλασιασμός", γιατί χρησιμοποιούταν από Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας.
Παραδείγματα πολλαπλασιασμών
- 20 x 40 = 800
Για να βρω το γινόμενο αυτό πολλαπλασιάζω το 2 x 4 = 8 και συμπληρώνω στο τέλος δύο μηδενικά (το 0 του 20 και το 0 του 40).
- 3 x 40 = 120
Για να βρω το γινόμενο αυτό πολλαπλασιάζω το 3 x 4= 12 και συμπληρώνω στο τέλος το 0 του 40.
Για να βρω το γινόμενο αυτό πολλαπλασιάζω το
30 x 40 = 1.200 και το 30 x 5 = 150 κάνοντας
το πινακάκι του ελληνικού πολλαπλασιασμού και έπειτα αθροίζω τα γινόμενα:
45 x 30 = 1.200 + 150 = 1.350
|  |
Για να βρω το γινόμενο αυτό πολλαπλασιάζω το
6 x 40 = 240 και το 6 x 5 = 30 κάνοντας το πινακάκι του ελληνικού πολλαπλασιασμού και έπειτα αθροίζω τα γινόμενα:
45 x 6 = 240 + 30 = 270
|  |
Για να βρω το γινόμενο αυτό πολλαπλασιάζω το
10 x 20 = 200, το 8 x 20 = 160 , το 10 x 5 = 50 και το 8 x 50 = 400 κάνοντας το πινακάκι του ελληνικού πολλαπλασιασμού και έπειτα αθροίζω τα γινόμενα:
25 x 18 = 200 + 160 + 50 + 400 = 450
|  |
Κεφάλαιο 30: Ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού
Θέλω να βρω το γινόμενο 46 x 38.
Βήμα 1ο: Γράφω κάθετα τον πολλαπλασιασμό. | Βήμα 2ο: Πολλαπλασιάζω 8 x 6 = 48. Γράφω το 8 και κρατάω 4 (κρατούμενο).  |
Βήμα 3ο: Πολλαπλασιάζω 8 x 4 = 32 και 4 το κρατούμενο (32+4=36) ... μας κάνουν 36. Γράφω 36. | Βήμα 4ο: Γράφω το 0 κάτω από το 8. Πολλαπλασιάζω το 3 x 6 = 18. Γράφω το 8 και κρατάω 1.  |
Βήμα 5ο: Πολλαπλασιάζω 3 x 4 = 12. 12 και 1 το κρατούμενο (12+1=13)... μας κάνει 13. Γράφω το 13. | Βήμα 6ο: Προσθέτω τα δύο μερικά γινόμενα, δηλαδή τους δύο αριθμούς που έχω βρει από τους πολλαπλασιασμούς που έκανα και λέω 368 + 1.380 = 1.748. Την πρόσθεση την κάνω κάθετα με τον τρόπο που έχω μάθει.  |
Το 1.748 είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού 46 x 38. Δηλαδή 46 x 38 = 1.748
Κεφάλαιο 31: Προβλήματα
- Για να λύσεις ένα πρόβλημα, πρέπει αρχικά να διαβάζεις με πολύ προσοχή την εκφώνησή του.
- Έπειτα πρέπει να σημειώνεις αυτά που σου δίνει το πρόβλημα (δηλαδή αυτά που γνωρίζεις) και αυτά που δε γνωρίζεις (δηλαδή αυτά που ψάχνεις να βρεις).
- Μετά προσπαθείς να καταλάβεις με ποια ή ποιες πράξεις θα οδηγηθείς σε αυτά που ψάχνεις χρησιμοποιώντας αυτό που ξέρεις.
Παράδειγμα:
Ένας ζαχαροπλάστης έφτιαξε 38 τούρτες και σε κάθε τούρτα έβαλε 13 κεράσια. Πόσα κεράσια έβαλε συνολικά στις τούρτες;
| Γνωρίζω: | Τον αριθμό των τουρτών που έφτιαξε ο ζαχαροπλάστης (38). Τον αριθμό των κερασιών που έβαλε σε κάθε τούρτα (13). |
| Ψάχνω: | Πόσα έιναι όλα τα κεράσια που χρησιμοποίησε. |
| Λύση: | Θα βρω πόσα είναι όλα τα κεράσια βιβλία που έβαλε στις τούρτες πολλαπλασιάσω τον αριθμό των τουρτών με τονα ριθμό των καερασιών που έβαλε σε κάθε τούρτα. Δηλαδή: 38 x 13  |
| Απάντηση: | Ο ζαχαροπλάστης έβαλε συνολικά 494 κεράσια. |
Κεφάλαιο 32: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι την αφαίρεση και την πρόσθεση τετραψήφιων αριθμών (βλ. κεφ.27).
Θυμάμαι πώς κάνω τον πολλαπλασιασμό σε μιλιμετρέ χαρτί (βλ. κεφ.28).
Θυμάμαι πώς κάνω τον ελληνικό πολλαπλασιασμό (βλ. κεφ.29).
Θυμάμαι τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού (βλ. κεφ.30).
Ενότητα 6: Εισαγωγή στους δεκαδικούς αριθμούς
Κεφάλαιο 33: Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με το 10, το 100 και το 1.000
Θυμάμαι:
Όταν πολλαπλασιάζω έναν αριθμό με:
- το 10 --> συμπληρώνω σε αυτόν ένα μηδενικό
πχ: 23 x 10 = 230
- το 100 --> συμπληρώνω σε αυτόν δύο μηδενικά
πχ: 23 x 100 = 2.300
- το 1.000 --> συμπληρώνω σε αυτόν τρία μηδενικά
πχ: 23 x 1.000 = 23.000
Όταν διαιρώ έναν αριθμό με:
- το 10 --> τον γράφω χωρίς ένα μηδενικό
πχ: 1.500 : 10 = 150
- το 100 --> τον γράφω χωρίς δύο μηδενικά
πχ: 1.500 : 100 = 15
- το 1.000 --> τον γράφω χωρίς τρία μηδενικά
πχ: 5.000 : 1.000 = 5
Δηλαδή:
- Όταν πολλαπλασιάζω έναν αριθμό επί 10, 100, 1.000 συμπληρώνω στον αριθμό τα μηδενικά που έχει το 10, το 100 ή το 1.000 (δηλαδή ένα, δύο ή τρία).
- Όταν διαιρώ έναν αριθμό (διαιρετέο) διά 10, 100, 1.000 σβήνω από το διαιρετέο τόσα μηδενικά, όσα έχει ο διαιρέτης, δηλαδή ένα, δύο ή τρία.
Δεν ξεχνώ: ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες.
Κεφάλαιο 34: Δεκαδικά κλάσματα
 |
Έχουμε μάθει ότι:
10 χιλιοστά είναι ίσα με 1 εκατοστό
10 χιλ. = 1 εκ.
|
Επίσης:
10 εκατοστά είναι ίσα με 1 δέκατο
10 εκ = 1 δεκ.
και
10 δέκατα είναι ίσα με 1 μέτρο
10 δεκ. = 1 μ.
|  |
Για να κάνουμε μετατροπές μεταξύ μέτρων, δέκατων, εκατοστών και χιλιοστών σκέφτομαι με τη βοήθεια της παρακάτω γραμμής:
- Πχ: Θέλω να μετατρέψω 3 μέτρα σε δέκατα: 3 μ. = _____ δεκ.
Σκέφτομαι: Θέλω να πάω από τα μέτρα στα δέκατα.
Άρα ακολουθώ τα πράσινα βελάκια και κάνω ένα πηδηματάκι.
Λέω 3 x 10 = 30. Συνεπώς 3μ. = 30 δεκ.
- Πχ: Θέλω να μετατρέψω 3 μέτρα σε εκατοστά: 3 μ. = _____ εκ.
Σκέφτομαι: Θέλω να πάω από τα μέτρα στα χιλιοστά.
Άρα ακολουθώ τα πράσινα βελάκια και κάνω δύο πηδηματάκια.
Λέω 3 x 10 =30 και 30 x 10 = 300 (ή 3 x 100 =300). Συνεπώς 3μ. = 300 εκ.
- Πχ: Θέλω να μετατρέψω 300 εκατοστά σε δέκατα: 300 εκ. = _____ δεκ.
Σκέφτομαι: Θέλω να πάω από τα εκατοστά στα δέκατα.
Άρα ακολουθώ τα γαλάζια βελάκια και κάνω ένα πηδηματάκι.
Λέω 300 : 10 = 30. Συνεπώς 300 εκ. = 30 δεκ.
- Πχ: Θέλω να μετατρέψω 4.000 χιλιοστά σε μέτρα: 4.000 χιλ. = _____ μ.
Σκέφτομαι: Θέλω να πάω από τα χιλιοστά στα μέτρα.
Άρα ακολουθώ τα γαλάζια βελάκια και κάνω τρία πηδηματάκια.
Λέω 4.000 : 10 = 400 και 400 : 10 = 40 και 40 : 10 =4 (ή 4.000 : 1.000 = 4).
Συνεπώς 4.000 χιλ. = 4 μ.
Δεκαδικά Κλάσματα
Δεκαδικά Κλάσματα λέμε τα κλάσματα με παρονομαστή 10, 100 ή 1.000. πχ:
δηλαδή 2 δέκατα, 3 εκατοστά και 5 χιλιοστά.
δηλαδή 2 δέκατα, 3 εκατοστά και 5 χιλιοστά.
Αν τώρα θέλω να κάνω μετατροπές σε δεκαδικά κλάσματα υπάρχει ένας εύκολος τρόπος!
Παράδειγμα 1ο:
| Θέλω να μετατρέψω τα 30 εκατοστά σε δέκατα: 30 εκ.= ____ δεκ. |
-->
| Σβήνω ένα μηδενικό από τον παρονομαστή και ένα μηδενικό από τον αριθμητή. |
 |
-->
|  |
Παράδειγμα 2ο:
| Θέλω να μετατρέψω τα 300 χιλιοστά σε δέκατα: 300 χιλ.= ____ δεκ. |
-->
| Σβήνω δύο μηδενικά από τον παρονομαστή και δύο μηδενικά από τον αριθμητή. |
 |
-->
|  |
Μπορώ όμως να κάνω και το αντίστροφο!
| Θέλω να μετατρέψω τα 5 δέκατα σε χιλιοστά: 5 δεκ. = _____ χιλ. |
-->
| Τότε βάζω δύο μηδενικά στον παρονομαστή και δύο μηδενικά στον αριθμητή. |
 |
-->
|  |
Προσοχή: Για να προσθέσω δεκαδικά κλάσματα θα πρέπει να έχουν ίδιο παρονομαστή. Πχ:
 |
Διαφορετικά πρέπει να κάνω τις μετατροπές. Πχ:
 Κεφάλαιο 35: Δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικοί αριθμοί
Δεκαδικοί Αριθμοί
Από τα δεκαδικά κλάσματα μπορούμε να φτιάξουμε δεκαδικούς αριθμούς, δηλαδή να γράψουμε την ίδια αξία με διαφορετικό τρόπο.
Οι δεκαδικοί αριθμοί χωρίζονται με την υποδιαστολή ( , ) σε δύο μέρη.
α) Ακέραιο μέρος (πριν την υποδιαστολή)
β) Δεκαδικό μέρος (μετά την υποδιαστολή)
πχ:
Το ακέραιο μέρος μπορεί να έχει Χιλιάδες, Εκατοντάδες, Δεκάδες και Μονάδες.
Το δεκαδικό μέρος μπορεί να έχει δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά.
Παράδειγμα:
Κανόνας:
Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό, γράφουμε τον αριθμητή όπως είναι και μετράμε τα μηδενικά του παρονομαστή. Μετά μετράμε ίδιο αριθμό ψηφίων στον αριθμητή αρχίζοντας από δεξιά προς τα αριστερά, για να βάλουμε την υποδιαστολή. Π.χ.:
Αν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία για να βάλω την υποδιαστολή στη σωστή θέση, συμπληρώνω τη θέση τους με μηδενικά. Π.χ.:
 Κεφάλαιο 36: Δεκαδικοί αριθμοί
Από τα δεκαδικά κλάσματα μπορούμε να φτιάξουμε δεκαδικούς αριθμούς, δηλαδή να γράψουμε την ίδια αξία με διαφορετικό τρόπο.
Οι δεκαδικοί αριθμοί χωρίζονται με την υποδιαστολή ( , ) σε δύο μέρη.
α) Ακέραιο μέρος (πριν την υποδιαστολή)
β) Δεκαδικό μέρος (μετά την υποδιαστολή)
πχ:
Τι πρέπει να γνωρίζω:
2,8 > 1,3
3,4 < 3,9
4,13 > 4,03
62,11 < 62,12
81,7 > 81 (81=81,0)
Κεφάλαιο 37: Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς
Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω δεκαδικούς αριθμούς, θυμάμαι την πρόσθεση ή την αφαίρεση των ακεραίων όπου οι Μονάδες μπαίνουν κάτω από τις Μονάδες, οι Δεκάδες κάτω από τις Δεκάδες, οι Εκατοντάδες κάτω από τις Εκατοντάδες και οι Χιλιάδες κάτω από τις Χιλιάδες.
Για να προσθέσω ή να αφαιρέσω δεκαδικούς αριθμούς βάζω τα δέκατα κάτω από τα δέκατα, τα εκατοστά κάτω από τα εκατοστά και τα χιλιοστά κάτω από τα χιλιοστά.
Παραδείγματα:
23,2 + 42,32 = ;
43,31 + 4,52 = ;
Τοποθετώ την υποδιαστολή κάτω από την υποδιαστολή. Στις κενές θέσεις μπορώ να βάλω το 0.
Όταν προσθέτω (ή αφαιρώ) δεκαδικό αριθμό με ακέραιο τότε εκτός από μηδενικά στις κενές θέσεις βάζω και μια υποδιαστολή μετά τις μονάδες του ακέραιου. Π.χ.: 123 + 4,3 = ;
Τα παραπάνω ισχύουν και για προσθέσεις και αφαιρέσεις με κρατούμενα. Π.χ.: 265,92 + 72,4 = ;
Κεφάλαιο 38: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι πώς πολλαπλασιάζω και διαιρώ με το 10, το 100 και το 1.000 (βλ. κεφ.33).
Θυμάμαι τι είναι τα δεκαδικά κλάσματα (βλ. κεφ.34).
Θυμάμαι τι είναι δεκαδικοί αριθμοί (βλ. κεφ.35).
Θυμάμαι πώς μετατρέπω δεκαδικούς αριθμούς σε δεκαδικά κλάσματα και το αντίστροφο (βλ. κεφ.35).
Θυμάμαι πώς συγκρίνω δεκαδικούς αριθμούς (βλ. κεφ 36).
Θυμάμαι πώς προσθέτω και αφαιρώ δεκαδικούς αριθμούς (βλ. κεφ. 37).
Κεφάλαιο 39: Κριτήριο αξιολόγησης
Ενότητα 7: Αριθμοί μέχρι το 7.000 - Μέτρηση μάζας - Πάζλ, πλακόστρωτα, μωσαϊκά, συμμετρία
Κεφάλαιο 40: Αριθμοί μέχρι το 7.000
Ένας τετραψήφιος αριθμός αποτελείται από: Χιλιάδες, Εκατοντάδες, Δεκάδες και Μονάδες
πχ: Ο αριθμός 6.523 αποτελείται από:
6 Χιλιάδες, 5 Εκατοντάδες, 2 Δεκάδες και 3 Μονάδες
ή 6 Χ 5 Ε 2 Δ και 3 Μ
και μπορεί να γραφτεί ως εξής:
6.000 + 500 + 20 + 3 = 6.523
Τοποθετώ τις χιλιάδες, τις εκατοντάδες, τις δεκάδες και τις μονάδες σε έναν άβακα...
...και διαβάζω τον αριθμό "έξι χιλιάδες πεντακόσια είκοσι τρία".
Σύγκριση αριθμών
Για να βρω μεταξύ δύο τετραψήφιων αριθμών ποιος είναι ο μεγαλύτερος συγκρίνω τα ψηφία τους από αριστερά προς τα δεξιά. Παραδείγματα:
Κεφάλαιο 41: Μέτρηση μάζας
Προσοχή:
Δε μπορώ να κάνω πράξεις με αντικείμενα που έχουν διαφορετική μονάδα μέτρησης!
Δηλαδή δε μπορώ να προσθέσω/αφαιρέσω κιλά με/από γραμμάρια, μπορώ όμως να προσθέσω/αφαιρέσω γραμμάρια με γραμμάρια, κιλά με κιλά και τόνους με τόνους. Π.χ.:
Κεφάλαιο 42: Πάζλ, πλακόστρωτα, μωσαϊκά
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Κεφάλαιο 43: Η συμμετρία
Αν διπλώσουμε τα παραπάνω σχέδια πάνω στην κόκκινη γραμμή, θα δούμε ότι τα μισά σχέδιο ταιριάζουν ακριβώς πάνω στα άλλα μισά σα να τα βλέπαμε σε καθρέφτη. Τα σχέδια αυτά λέγονται συμμετρικά και η κόκκινη γραμμή λέγεται άξονας συμμετρίας.
Ένα σχήμα μπορεί να έχει μπορεί να έχει πολλούς άξονες συμμετρίας.
Κεφάλαιο 44: Προβλήματα
- Για να λύσεις ένα πρόβλημα, πρέπει αρχικά να διαβάζεις με πολύ προσοχή την εκφώνησή του.
- Έπειτα πρέπει να σημειώνεις αυτά που σου δίνει το πρόβλημα (δηλαδή αυτά που γνωρίζεις) και αυτά που δε γνωρίζεις (δηλαδή αυτά που ψάχνεις να βρεις).
- Μετά προσπαθείς να καταλάβεις με ποια ή ποιες πράξεις θα οδηγηθείς σε αυτά που ψάχνεις χρησιμοποιώντας αυτό που ξέρεις.
Παράδειγμα:
Ο μισθός του κύριου Κώστα ήταν 1.275 ευρώ. Ο διευθυντής της εταιρείας στην οποία εργάζεται του έκανε αύξηση κι έτσι ο μισθός του είναι τώρα 1.420 ευρώ. Πόσα ευρώ ήταν η αύξηση;
| Γνωρίζω: | Πόσα ευρώ έπαιρνε ο κύριος Κώστας πριν την αύξηση (1.275) Πόσα ευρώ παίρνει ο κύριος Κώστας μετά την αύξηση (1.420) |
| Ψάχνω: | Πόσα ευρώ ήταν η αύξηση. |
| Λύση: | Θα βρω πόσα ευρώ ήταν η αύξηση αν αφαιρέσω από τα χρήματα που παίρνει τώρα τα χρήματα που έπαιρνε παλιά. Δηλαδή: 1.420-1.275  |
| Απάντηση: | Η αύξηση τουμισθού του κύριου Κώστα ήταν 145 ευρώ. |
Κεφάλαιο 45: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι τους τετραψήφιους αριθμούς (βλ. κεφ.40).
Θυμάμαι πώς μετρώ τη μάζα (βλ. κεφ.41).
Θυμάμαι τα πάζλ, τα πλακόστρωτα και τα μωσαϊκά (βλ. κεφ.42).
Θυμάμαι τι σημαίνει συμμετρία(βλ. κεφ.43).
Ενότητα 8: Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις - Μοτίβα - Μέτρηση χρόνου και επιφάνειας
Κεφάλαιο 46: Πολλαπλασιασμοί
Θυμάμαι διάφορους τρόπους πολλαπλασιαμού που έχω μάθει μέχρι τώρα.
Α) 15 x 4 = (10 + 5) x 4 =(10 x 4) + (5 x 4) = 40 + 20 = 60
Αναλύω το 15 σε Μονάδες και Δεκάδες (10 + 5) και πολλαπλασιάζω χωριστά τις Δεκάδες και τις Μονάδες με το 4. Έπειτα προσθέτω τα γινόμενα.
Β) Αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού:
| Βήμα 1ο: Γράφω κάθετα τον πολλαπλασιασμό. | Βήμα 2ο: Πολλαπλασιάζω 8 x 6 = 48. Γράφω το 8 και κρατάω 4 (κρατούμενο). |
| Βήμα 3ο: Πολλαπλασιάζω 8 x 4 = 32 και 4 το κρατούμενο (32+4=36) ... μας κάνουν 36. Γράφω 36. | Βήμα 4ο: Γράφω το 0 κάτω από το 8. Πολλαπλασιάζω το 3 x 6 = 18. Γράφω το 8 και κρατάω 1. |
Βήμα 5ο: Πολλαπλασιάζω 3 x 4 = 12. 12 και 1 το κρατούμενο (12+1=13)... μας κάνει 13. Γράφω το 13.
|
Βήμα 6ο: Προσθέτω τα δύο μερικά γινόμενα, δηλαδή τους δύο αριθμούς που έχω βρει από
τους πολλαπλασιασμούς που έκανα και λέω
368 + 1.380 = 1.748. Την πρόσθεση την κάνω κάθετα με τον τρόπο που έχω μάθει.
|
Το 1.748 είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού 46 x 38. Δηλαδή 46 x 38 = 1.748
Γ) 40 x 6 =240
Πολλαπλασιάζω το 4 x 6 = 24. Γράφωτο 24 και συμπληρώνω το 0 του 40.
40 x 60 =2400
Πολλαπλασιάζω το 4 x 6 = 24. Γράφωτο 24 και συμπληρώνω το 0 του 40 και το 0 του 60.
Δ) 45 x 100 = 4.500 , 45 x 1.000 = 45.000
Για να βρω το γινόμενο ενός ακέραιου αριθμού με το 10, το 100 ή το 1.000, γράφω τον αριθμό και συμπληρώνω στο τέλος τόσα μηδενικά, όσα έχει το 10, το 100 ή το 1.000.
Κεφάλαιο 47: Διαιρέσεις
Θυμάμαι ότι: O πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι πράξεις αντίστροφες.
Για να κάνω μια διαίρεση, πχ: 48:6= ;
Σκέφτομαι ποιο γινόμενο του 6 μου δίνει αποτέλεσμα πιο κοντά στο 48 χωρίς να το ξεπερνάει. Δηλαδή, με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 6 για να μου δίνει αριθμό ίσο ή μικρότερο του 48.
Σκέφτομαι την προπαίδεια του 6:
1x6=6, 2x6=12, 3x6=18, 4x6=24, 5x6=30, 6x6=36, 7x6=42, 8x6=48 !
Ωπ! 48! Άρα το 6 στο 48 χωράει 8 φορές!
Συνεπώς γράφω: 48 : 6 = 8
|
Όμως κάποιες φορές μπορεί να περισσεύει κάτι..., πχ: 50:6=;
| Σκέφτομαι ποιο γινόμενο του 6 μου δίνει αποτέλεσμα πιο κοντά στο 50 χωρίς να το ξεπερνάει. Δηλαδή, με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσω το 6 για να μου δίνει αριθμό ίσο ή μικρότερο του 50. Σκέφτομαι την προπαίδεια του 6: 1x6=6, 2x6=12, 3x6=18, 4x6=24, 5x6=30, 6x6=36, 7x6=42, 8x6=48 !, 9x6=54 ! Το 54 ξεπερνάει το 50, γι’ αυτό διαλέγω το 48 που είναι μικρότερο από το 50. Άρα το 6 χωράει 8 φορές στο 50 (6x8=48) αλλά περισσεύουν και 2 (50-48=2). Συνεπώς γράφω: 50 = ( 6 x 8 ) + 2 |
Για τις διαιρέσεις Εκατοντάδων ή Χιλιάδων με το 100, γράφουμε τον αριθμό χωρίς τα δύο τελευταία του μηδενικά. Π.χ.:
300 : 100 = 3
3.000 : 100 = 30
Για τις διαιρέσεις Χιλιάδων με το 1.000, γράφουμε τον αριθμό χωρίς τα τρία τελευταία του μηδενικά. Π.χ.:
7.000 : 1.000 = 7
Κεφάλαιο 48: Μοτίβα
Παραδείγματα μοτίβων
Κεφάλαιο 49: Μέτρηση χρόνου
Παραδείγματα μοτίβων
Μία ημέρα χωρίζεται σε 24 ώρες.
Τα συμβατικά ρολόγια (δηλαδή αυτά που έχουν δείκτες), έχουν αριθμούς από το 1 έως το 12.
|
Τα ηλεκτρονικά ρολόγια έχουν αριθμούς και για τις 24 ώρες.
|
 |  |
Αντιστοιχία ωρών συμβατικού - ηλεκτρονικού ρολογιού
Συμβατικό ρολόι
|
Ηλεκτρονικό ρολόι
|
Συμβατικό ρολόι
|
Ηλεκτρονικό ρολόι
| |
|---|---|---|---|---|
1 π.μ.
|
1:00
|
1 μ.μ.
|
13:00
| |
2 π.μ.
|
2:00
|
2 μ.μ.
|
14:00
| |
3 π.μ.
|
3:00
|
3 μ.μ.
|
15:00
| |
4 π.μ.
|
4:00
|
4 μ.μ.
|
16:00
| |
5 π.μ.
|
5:00
|
5 μ.μ.
|
17:00
| |
6 π.μ.
|
6:00
|
6 μ.μ.
|
18:00
| |
7 π.μ.
|
7:00
|
7 μ.μ.
|
19:00
| |
8 π.μ.
|
8:00
|
8 μ.μ.
|
20:00
| |
9 π.μ.
|
9:00
|
9 μ.μ.
|
21:00
| |
10 π.μ.
|
10:00
|
10 μ.μ.
|
22:00
| |
11 π.μ.
|
11:00
|
11 μ.μ.
|
23:00
| |
12 π.μ.
|
12:00
|
12 μ.μ.
|
00:00
| |
π.μ .= πριν το μεσημέρι
|
μ.μ .= μετά το μεσημέρι
| |||
1 λεπτό = 60 δευτερόλεπτα
1 ώρα = 60 λεπτά
1 ημέρα = 24 ώρες
1 εβδομάδα = 7 ημέρες
1 μήνας = 30 ημέρες περίπου
1 χρόνος = 12 μήνες
Κεφάλαιο 50: Μέτρηση επιφάνειας
Τετραγωνικό μέτρο
Για να διευκολύνονται οι άνθρωποι σε όλο τον κόσμο, συμφώνησαν να χρησιμοποιούν για τις μετρήσεις της επιφάνειας ένα τετράγωνο με πλευρές ίσες με 1 μέτρο. Ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 1 μέτρο ονομάζεται τετραγωνικό μέτρο (1 τ.μ.). |  |
Πρόβλημα
Μετρώ τα τετραγωνικά μέτρα των δύο οικοπέδων και βρίσκω ποιο είναι μεγαλύτερο. Θεωρώ ότι ένα τετράγωνο ισούται με 1 τετραγωνικό μέτρο.
 |  |
| Το οικόπεδο Α είναι ___ τετραγωνικά μέτρα. | Το οικόπεδο Β είναι ___ τετραγωνικά μέτρα. |
Λύση:
| Μετρώ τα τετραγωνάκια στο οικόπεδο Α. Το οικόπεδο αυτό έχει 16 ολόκληρα τετραγωνάκια και 4 μισά τετραγωνάκια. Τα 4 μισά τετραγωνάκια αντιστοιχούν σε 2 ολόκληρα. Οπότε 16 + 2 = 18 τετραγωνάκια. Άρα το οικόπεδο Α είναι 18 τετραγωνικά μέτρα. |
| Μετρώ τα τετραγωνάκια στο οικόπεδο Β. Το οικόπεδο αυτό έχει 17 ολόκληρα τετραγωνάκια. Άρα το οικόπεδο Β είναι 17 τετραγωνικά μέτρα. |
Απάντηση: Το οικόπεδο Α είναι μεγαλύτερο από το οικόπεδο Β (Α=18>Β=17).
Κεφάλαιο 51: Προβλήματα
Κεφάλαιο 52: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι τον πολλαπλασιασμό (βλ. κεφ.46)
Θυμάμαι τις διαιρέσεις (βλ. κεφ.47)
Θυμάμαι τα μοτίβα (βλ. κεφ.48)
Θυμάμαι τη μέτρηση του χρόνου (βλ. κεφ.49)
Θυμάμαι τη μέτρηση της επιφάνειας (βλ. κεφ.50)
Ενότητα 9: Αριθμοί μέχρι το 10.000 - Κλάσματα και δεκαδικοί - Πράξεις - Γεωμετρία
Κεφάλαιο 53: Αριθμοί μέχρι το 10.000
Κεφάλαιο 54: Επαναληπτικό μάθημα στη Γεωμετρία
Κεφάλαιο 55: Διαιρέσεις (Ι)
Κεφάλαιο 56: Διαιρέσεις (ΙΙ)
Κεφάλαιο 57: Κλάσματα και δεκαδικοί
Κεφάλαιο 58: Προβλήματα
Κεφάλαιο 59: Επαναληπτικό μάθημα
Κεφάλαιο 60: Κριτήριο Αξιολόγησης
http://users.sch.gr/parantoniou/mathimatika.html
Περισσότερο πλούσιο εκπαιδευτικό υλικό για το Δημοτικό εδώ.
Κεφάλαιο 51: Προβλήματα
Κεφάλαιο 52: Επαναληπτικό μάθημα
Θυμάμαι τον πολλαπλασιασμό (βλ. κεφ.46)
Θυμάμαι τις διαιρέσεις (βλ. κεφ.47)
Θυμάμαι τα μοτίβα (βλ. κεφ.48)
Θυμάμαι τη μέτρηση του χρόνου (βλ. κεφ.49)
Θυμάμαι τη μέτρηση της επιφάνειας (βλ. κεφ.50)
Ενότητα 9: Αριθμοί μέχρι το 10.000 - Κλάσματα και δεκαδικοί - Πράξεις - Γεωμετρία
Κεφάλαιο 53: Αριθμοί μέχρι το 10.000
Κεφάλαιο 54: Επαναληπτικό μάθημα στη Γεωμετρία
Κεφάλαιο 55: Διαιρέσεις (Ι)
Κεφάλαιο 56: Διαιρέσεις (ΙΙ)
Κεφάλαιο 57: Κλάσματα και δεκαδικοί
Κεφάλαιο 58: Προβλήματα
Κεφάλαιο 59: Επαναληπτικό μάθημα
Κεφάλαιο 60: Κριτήριο Αξιολόγησης
http://users.sch.gr/parantoniou/mathimatika.html
Περισσότερο πλούσιο εκπαιδευτικό υλικό για το Δημοτικό εδώ.