Η μεγαλύτερη μαθηματική απόδειξη είναι γεγονός και το μέγεθος της φτάνει τα 200 terabyte! Πώς όμως μπορούν οι φυσικοί αριθμοί, το Πυθαγόρειο Θεώρημα και δύο... χρώματα, να δημιουργήσουν τόσο τεράστιο όγκο δεδομένων;
Μια... ωδή στον Paul Erdos: Ο σπουδαίος μαθηματικός που επινόησε το πρόβλημα
Στα μαθηματικά, έχουμε μάθει να μνημονεύουμε τους ανθρώπους που κατάφεραν να λύσουν τα δυσκολότερα προβλήματα, τείνουμε όμως να ξεχνάμε όσους τα «γέννησαν». Πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, σαν την Εικασία του Γκόλντμπαχ, οι μαθηματικοί που είχαν το... χάρισμα να δημιουργούν απορίες, αντί να τις λύνουν, συνήθως περνούσαν στην αφάνεια.
Ωστόσο, οι επιστήμονες γνωρίζουν πολύ καλά πως η κατασκευή ενός προβλήματος είναι τουλάχιστον εφάμιλλη της λύσης του. Ενας τέτοιος μαθηματικός ήταν ο Paul Erdos, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα, που εκτός των άλλων, απέκτησε φήμη χάρη στην... διαβολική του ικανότητα να γεννάει προβλήματα.
Ο Ούγγρος ήταν ένας αφοσιωμένος εργάτης των αριθμών. Γύρω από το όνομα του και την εκπληκτική ιστορία της ζωής του, έχουν γραφτεί ολόκληρα βιβλία («Το μυαλό μου είναι ανοιχτό»). Ο Erdos δεν άντεχε χωρίς μαθηματικά. Οταν είδε ότι η σκέψη του άρχισε να... μειώνει ταχύτητα, λόγω ηλικίας, τότε στράφηκε στις αμφεταμίνες. Ηθελε πάση θυσία να βρει ένα τρόπο να συνεχίσει να είναι παραγωγικός. Να συνεχίσει να δημιουργεί προβλήματα, σαν αυτό που θα αναφέρουμε παρακάτω.
Κατέληξε να φτιάξει μια τεράστια λίστα προβλημάτων. Σε καθένα από αυτά όρισε και μια τιμή. Ενα έπαθλο που κυμαινόταν από τα 2 δολάρια έως και τις 10.000, για όποιον καταφέρει να λύσει κάποιον από τους γρίφους του. Μετά τον θάνατο του, το 1996, οι στενότεροι του φίλοι φρόντισαν να συνεχίσουν αυτή την παράδοση, βραβεύοντας όσους λύνουν τα προβλήματα του Erdos.
Κάπως έτσι, πριν από λίγες μέρες τρεις προγραμματιστές διεκδίκησαν μόλις... 100 δολάρια για την λύση του «μεγαλύτερου προβλήματος στην ιστορία των μαθηματικών». Φυσικά, αυτό το μικρό ποσό σε καμία περίπτωση δεν αντιστοιχεί στην πραγματική αξία του προβλήματος. Αλλά, όπως είπαμε, οι τιμές καθορίζονταν από τον Erdos (που δεν διατηρούσε και πολύ καλή σχέση με το χρήμα) και όχι από κάποιο επιστημονικό ινστιτούτο με... γεμάτα ταμεία.
Το πρόβλημα, η τεράστια απόδειξη και ο... μυστήριος αριθμός 7825
«Υπάρχει τρόπος να χρωματίσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς, με μπλε και κόκκινο, έτσι ώστε να μην υπάρχει καμία πυθαγόρεια τριάδα με το ίδιο χρώμα;»
Αυτή ήταν η απορία του Ούγγρου μαθηματικού, που οδήγησε στην δημιουργία της μεγαλύτερης μαθηματικής (ή καλύτερα αλγοριθμικής) απόδειξης στην ιστορία. Σε μια κάπως πιο «μαθηματική» μετάφραση, το ερώτημα θα μπορούσε να τεθεί ως εξής: «Μπορούμε να διαμερίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών {0,1,2,...} σε δύο σύνολα τα οποία να μην περιέχουν καμία πυθαγόρεια τριάδα;»
Τι ακριβώς σημαίνει αυτό; Τρεις αριθμοί δημιουργούν μια πυθαγόρεια τριάδα, όταν ικανοποιούν την σχέση a2 +b2 = c2. Ετσι, αν για παράδειγμα το a και το b είναι μπλε, τότε το c θα πρέπει να βαφτεί κόκκινο. Ωστόσο, κάθε ακέραιος αποτελεί μέλος αρκετών τριάδων. Κάπως έτσι, τα χρώμα αρχίζουν να... μπερδεύονται και η λύση να γίνεται ολοένα και πιο δύσκολη, όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν.
Εως τώρα, το πρόβλημα είχε λυθεί μόλις για τους πρώτους 7824 αριθμούς. Οταν όμως εμφανιζόταν το 7825 όλα καταστρέφονταν. Το πρόβλημα παρέμεινε άλυτο για αρκετά χρόνια, μέχρι οι Heule, Kullmann και Marek να αποδείξουν πως... καλώς έμεινε άλυτο, αφού όντως δεν υπάρχει διαμέριση που να το ικανοποιεί!
Η λύση για τους πρώτους 7824 αριθμούς. Με άσπρο είναι όσοι μπορούν να πάρουν και τα δύο χρώματα.
(Φωτογραφία από Nature.com)
Η λύση για τους πρώτους 7824 αριθμούς. Με άσπρο είναι όσοι μπορούν να πάρουν και τα δύο χρώματα.(Φωτογραφία από Nature.com)
Οι τρεις μαθηματικοί, χρησιμοποιώντας έναν υπερ-υπολογιστή του Πανεπιστημίου του Τέξας, κατάφεραν να δείξουν πως για τους πρώτους 7825 αριθμούς δεν υπάρχει κατάλληλος χρωματισμός. Πάντα θα βρίσκεται μια τριάδα, κόκκινη ή μπλε, που θα είναι πυθαγόρεια. Οι πιθανοί χρωματισμοί ήταν 102300, όμως οι τρεις ερευνητές χρησιμοποιώντας κατάλληλες μεθόδους, μπόρεσαν να τους μειώσουν σε μόλις ένα τρισεκατομμύριο. Από εκεί και πέρα, την διαδικασία επιμελήθηκε ο υπολογιστής, ο οποίος έτρεχε επί δύο ημέρες, δημιουργώντας δεδομένα που κατέλαβαν χώρος 200 terabyte! Κάπως έτσι, η μεγαλύτερη μαθηματική απόδειξη (όχι σε σημασία αλλά σε μέγεθος) έγινε γεγονός. Αξίζει μάλιστα να αναφερθεί πως η αμέσως προηγούμενη ήταν μεγέθους μόλις 13 gigabyte.
Ωστόσο, θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί πως η απόδειξη αυτή δεν είναι μαθηματική αλλά υπολογιστική και αλγοριθμική. Αλλωστε ακόμα και οι συγγραφείς της δεν παρέλειψαν να το αναφέρουν, αναγνωρίζοντας πως η λύση τους δεν περιέχει κάποιο γενικότερο συμπέρασμα για το 7825, ούτε για τους αριθμούς που ακολουθούν.
Οπως και να έχει, στον 21ο αιώνα οι υπολογιστές έχουν αναλάβει την... βρώμικη δουλειά, όταν οι μαθηματικοί αντιμετωπίζουν ολόκληρα βουνά από πράξεις, κι αυτό είναι κάτι που μόνο ως θετικό μπορεί να χαρακτηριστεί. Οι μαθηματικοί πλέον γνωρίζουν πως για να λύσουν κάποια προβλήματα θα πρέπει να μάθουν να χειρίζονται κατάλληλα υπολογιστές, που έτσι κι αλλιώς δημιουργήθηκαν για να... υπολογίζουν.
Περισσότερα αφιερώματα εδώ.