Υπάρχουν δύο όψεις στη μελέτη των αριθμών — η ανίχνευση σχέσεων μεταξύ αριθμών και η ανάπτυξη της τέχνης του υπολογισμού με αριθμούς. Στους αρχαίους Έλληνες, η πρώτη ήταν γνωστή ως αριθμητική και η δεύτερη ως λογιστική. Αυτή η ταξινόμηση διατηρήθηκε όλο το Μεσαίωνα μέχρι περίπου τα τέλη του 15ου αιώνα, οπότε παρουσιάστηκαν κείμενα που πραγματεύονταν και τις δυο πιο πάνω όψεις κάτω από το κοινό όνομα αριθμητική. Είναι αξιοσημείωτο ότι σήμερα ο όρος αριθμητική διατηρεί το αρχικό του νόημα στην ηπειρωτική Ευρώπη, ενώ στην Αγγλία και τις ΗΠΑ το κοινό νόημα της αριθμητικής είναι συνώνυμο με αυτό της αρχαίας λογιστικής, και το θεωρητικό μέρος της μελέτης των αριθμών στις δυο αυτές χώρες αποδίδεται με τον περιγραφικό όρο θεωρία αριθμών.
Είναι γενικά αποδεκτό πως τα πρώτα βήματα στην ανάπτυξη της θεωρίας αριθμών έγιναν από τον Πυθαγόρα και τους οπαδούς του, σε συνδυασμό με τη φιλοσοφία της αδελφότητας των πυθαγορείων ότι οι ακέραιοι αριθμοί ελέγχουν το Σύμπαν. Μεγάλο μέρος αυτού του έργου αποτέλεσε τη βάση για το μυστικισμό που αναπτύχθηκε αργότερα πάνω στους αριθμούς. Έτσι ο Ιάμβλιχος (περίπου στα 320 μ.Χ.), ένας νεοπλατωνικός φιλόσοφος που άσκησε μεγάλη επιρροή, έχει αποδώσει στον Πυθαγόρα την ανακάλυψη των φίλων αριθμών. Δύο θετικοί ακέραιοι είναι φίλοι αν καθένας είναι ίσος με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών[1] του άλλου.
Έτσι οι αριθμοί 284 και 220, που ο προσδιορισμός τους αποδίδεται στον Πυθαγόρα, είναι φίλοι αριθμοί αφού οι γνήσιοι διαιρέτες του 220, δηλαδή οι 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 και 110, δίνουν άθροισμα 284 και οι γνήσιοι διαιρέτες του 284, δηλαδή οι 1, 2, 4, 71 και 142, δίνουν άθροισμα 220. Αυτό το ζεύγος αριθμών απέκτησε μια μυστικιστική αίγλη και αργότερα παρέμεινε η προκατάληψη ότι δύο φυλακτά που έφεραν αυτούς τους αριθμούς επισφράγιζαν την τέλεια φιλία μεταξύ αυτών που τα φορούσαν. Οι αριθμοί άρχιζαν να παίζουν σημαντικό ρόλο στα μάγια, τα ξόρκια, την αστρολογία και την κατασκευή του ωροσκόπιου.
Μετά το αρχικό ζεύγος φίλων αριθμών 284 και 220, δε βρέθηκε κανένα άλλο μέχρι που ο μεγάλος Γάλλος αριθμοθεωρίστας Πιερ ντε Φερμά ανακοίνωσε στα 1636 ένα νέο ζεύγος αριθμών, τους 17.296 και 18.416. Δύο χρόνια αργότερα ο Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος Καρτέσιος έδωσε ένα τρίτο ζεύγος. Ο Ελβετός μαθηματικός Λέοναρντ Όυλερ (Leonard Euler) καταπιάστηκε με τη συστηματική έρευνα φίλων αριθμών και στα 1747 έδωσε έναν κατάλογο με 30 ζεύγη, που αργότερα τους αύξησε σε πάνω από 60. Το αξιοπερίεργο στην ιστορία αυτών των αριθμών ήταν η καθυστερημένη ανακάλυψη, από το δεκαεξάχρονο Ιταλό Νικολό Παγκανίνι (Nicolo Paganini) στα 1866, του παραμελημένου και σχετικά μικρού ζεύγους 1184 και 1210. Σήμερα γνωρίζουμε πάνω από 1000 ζεύγη φίλων αριθμών.
Η έννοια των φίλων αριθμών έχει οδηγήσει σήμερα σε κάποιες γενικεύσεις. Μια κυκλική ακολουθία, για παράδειγμα, τριών ή περισσότερων αριθμών τέτοιων ώστε το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών καθενός να είναι ίσο με τον επόμενο αριθμό στην ακολουθία είναι γνωστή ως κοινωνική αλυσίδα (sociable chain) αριθμών. Σήμερα είναι γνωστές δύο μόνο κοινωνικές αλυσίδες με αριθμούς μικρότερους από 1.000.000 — η μία με πέντε «κρίκους» (που βρέθηκε από το Γάλλο Π. Πουλέ, P. Poulet) και αρχίζει από τον αριθμό 12496, και η άλλη με 28 «κρίκους» που αρχίζει από το 14316[2]. Μια κοινωνική αλυσίδα με τρεις ακριβώς κρίκους λέγεται κλίκα (crowd). Μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί καμιά κλίκα.
Άλλοι αριθμοί, που οι ιδιότητες τους ήταν αντικείμενο μυστικιστικών απασχολήσεων σε αριθμητικούς διαλογισμούς και γενικά αποδίδονται στους πυθαγόρειους, είναι οι τέλειοι, οι ελλιπείς και οι πλήρεις αριθμοί. Ας ονομάσουμε Ν το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών ενός θετικού ακεραίου ν. Τότε ο ν λέγεται τέλειος, ελλιπής ή πλήρης αριθμός αν Ν = ν, Ν<ν ή Ν>ν αντίστοιχα. Έτσι ο 6 (με γνήσιους διαιρέτες 1, 2, 3) είναι τέλειος, ο 8 (με γνήσιους διαιρέτες 1, 2, 4) είναι ελλιπής και ο 12 (με γνήσιους διαιρέτες 1, 2, 3, 4, 6) είναι πλήρης.
Μέχρι τα 1952 ήταν γνωστοί μόνο 12 τέλειοι αριθμοί, όλοι άρτιοι, κι οι τρεις πρώτοι απ’ αυτούς ήταν οι 6, 28 και 496. Η τελευταία πρόταση του Ένατου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη αποδεικνύει ότι αν ο 2v είναι πρώτος[3] αριθμός, τότε ο 2ν-1(2ν-1) είναι τέλειος αριθμός. Οι τέλειοι αριθμοί που δίνονται από τον τύπο του Ευκλείδη είναι άρτιοι αριθμοί και ο Όϋλερ έχει αποδείξει ότι κάθε άρτιος τέλειος αριθμός πρέπει να έχει αυτή τη μορφή. Η ύπαρξη ή όχι περιττών τέλειων αριθμών είναι ένα από τα φημισμένα άλυτα προβλήματα στη θεωρία αριθμών είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός μικρότερος του 10100.
Στα 1952, με τη βοήθεια του ψηφιακού υπολογιστή SWAC, ανακαλύφθηκαν πέντε ακόμα τέλειοι αριθμοί που αντιστοιχούν στις τιμές ν = 521, 607, 1279, 2203 και 2281 του τύπου του Ευκλείδη.
Η έννοια των τέλειων αριθμών έχει εμπνεύσει τους σύγχρονους μαθηματικούς στην κατεύθυνση ορισμένων γενικεύσεων. Αν ονομάσουμε σ(ν) το άθροισμα όλων των διαιρετών του ν (συμπεριλαμβανομένου και του ίδιου του ν), τότε ο ν είναι τέλειος αν και μόνο αν σ(ν) = 2ν. Γενικά, αν έχουμε σ(ν) = κν, όπου ο κ είναι φυσικός αριθμός, τότε ο ν λέγεται χ-πλά τέλειος. Μπορούμε, για παράδειγμα, να αποδείξουμε ότι οι αριθμοί 120 και 672 είναι τριπλά τέλειοι. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειροι στο πλήθος πολλαπλά τέλειοι αριθμοί ή έστω μόνο τέλειοι. Ούτε είναι γνωστό αν υπάρχει κανείς περιττός, πολλαπλά τέλειος αριθμός. Στα 1944 δημιουργήθηκε η έννοια του υπερπλήρους αριθμού. Ένας φυσικός αριθμός ν είναι υπερπλήρης αν και μόνο αν σ(ν)/ν > σ(κ)/κ, για όλα τα κ<ν. Είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειροι στο πλήθος υπερπλήρεις αριθμοί. Άλλοι αριθμοί που σχετίζονται με τους τέλειους, τους ελλιπείς και τους πλήρεις αριθμούς και έχουν εισαχθεί πρόσφατα είναι οι πρακτικοί αριθμοί, οι σχεδόν τέλειοι αριθμοί, οι ημιτέλειοι αριθμοί και οι αλλόκοτοι αριθμοί. Εδώ απλά αναφέρουμε αυτές τις έννοιες για να δείξουμε πόσο οι αρχαίες εργασίες πάνω στους αριθμούς έχουν εμπνεύσει ανάλογες σύγχρονες διερευνήσεις.
Σχήμα 1
Σχήμα 2
Σχήμα 3,4
Ενώ δεν είμαστε απόλυτα σίγουροι ότι οι φίλοι, οι τέλειοι, οι ελλιπείς και οι πλήρεις αριθμοί προέρχονται από τους πυθαγόρειους, δε φαίνεται να υπάρχει καμιά αμφιβολία ότι οι λεγόμενοι πολυγωνικοί αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τα πρώτα μέλη της κοινωνίας των πυθαγορείων. Αυτοί οι αριθμοί, αν ληφθούν ως το πλήθος των στιγμάτων σε ορισμένα γεωμετρικά σχήματα, τότε αποκαθιστούν μια σύνδεση μεταξύ γεωμετρίας και αριθμητικής. Τα σχήματα 1, 2 και 3 επεξηγούν τη γεωμετρική ονομασία των τριγωνικών τετραγωνικών και πενταγωνικών αριθμών. Υπάρχουν πολλά και ωραία θεωρήματα για τους πολύγωνους αριθμούς που μπορούν να αποδειχτούν πολύ απλά, από τη γεωμετρική τους απεικόνιση. Τέτοια θεωρήματα, για παράδειγμα, είναι:
- Κάθε τετραγωνικός αριθμός είναι άθροισμα δύο διαδοχικών
τριγωνικών αριθμών, (βλ. σχήμα 2).
- Ο νιοστός πενταγωνικός αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα
του ν και του (ν-1) οστού τριγωνικού αριθμού (βλ. σχήμα 3).
- Το άθροισμα οσωνδήποτε διαδοχικών περιττών ακεραίων,
αρχίζοντας από το 1, είναι τετραγωνικός αριθμός (βλ. σχήμα 4).
Αυτά τα θεωρήματα μπορούν ασφαλώς να αποδειχτούν και με καθαρά αλγεβρικό τρόπο. Υπάρχουν μάλιστα ορισμένες βαθύτερες ιδιότητες των πολυγωνικών αριθμών για τις οποίες δεν μπορούμε να αποφύγουμε την αλγεβρική μέθοδο.
Οι πρώτοι αριθμοί, ως θεμέλιοι λίθοι από τους οποίους προκύπτουν όλοι οι άλλοι ακέραιοι με πολλαπλασιασμό, έχουν μακριά ιστορία, από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων μέχρι σήμερα. Ο Ευκλείδης, στην πρόταση 20 του Βιβλίου IX των Στοιχείων του, απόδειξε ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Μια όμορφη γενίκευση αυτού του θεωρήματος έδωσε το Ντίριχλετ (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859), ο οποίος κατάφερε να αποδείξει ότι κάθε αριθμητική πρόοδος
α, α+δ, α+2δ, α+3δ,…,
στην οποία οι α και δ είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί, περιέχει άπειρους στο πλήθος πρώτους αριθμούς. Η απόδειξη αυτή κάθε άλλο παρά εύκολη είναι.
Το πιο εντυπωσιακό ίσως αποτέλεσμα που έχει βρεθεί μέχρι σήμερα σχετικά με τους πρώτους αριθμούς είναι το λεγόμενο θεώρημα των πρώτων αριθμών. Αν συμβολίσουμε με Αν το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από το θετικό ακέραιο ν, τότε το θεώρημα των πρώτων αριθμών λέει ότι το:
(Αν λογ ν)/ν
τείνει στο 1 καθώς το ν αυξάνεται συνεχώς. Με άλλα λόγια, το Αν/ν, που ονομάζεται πυκνότητα των πρώτων αριθμών ανάμεσα στους ν πρώτους θετικούς ακεραίους, προσεγγίζεται από το 1/λογν και η προσέγγιση είναι καλύτερη όσο το ν αυξάνεται. Πρώτος ο δεκαπεντάχρονος Κ.Φ. Γκάους (C.F. Gauss, 1777-1855) υπέθεσε ότι ισχύει το θεώρημα αυτό, καθώς μελετούσε ένα μεγάλο πίνακα πρώτων αριθμών. Αποδείχθηκε όμως στα 1896 από δυο μαθηματικούς ανεξάρτητα, το Γάλλο Ζ. Ανταμάρ (J. Hadamard) και το Βέλγο Κ.Ζ. ντε λα Βαλλέ Πουσσέν (C.J. de la Vallee Poussin).
Για τη μελέτη και την έρευνα πάνω στους πρώτους αριθμούς, ανεκτίμητη αξία έχουν οι εκτεταμένοι πίνακες που δίνουν τους παράγοντες των αριθμών. Ένας τέτοιος πίνακας για όλους τους αριθμούς μέχρι τον 24000 δημοσιεύτηκε στα 1659 από τον Τζ. Χ. Ραν (J.H. Rahn) σε ένα παράρτημα βιβλίου άλγεβρας. Στα 1668 ο Άγγλος Τζων Πελ (John Pell) συμπλήρωσε αυτόν τον πίνακα μέχρι τον 100.000. Μετά από παράκληση του Γερμανού μαθηματικού Τζ. Χ. Λάμπερτ (J.H. Lambert) ένας Βιεννέζος καθηγητής, ο Αντόνιο Φέλκελ (Antonio Felkell), υπολόγισε ένα μεγάλο πίνακα που όμως δεν είχε καλή τύχη. Ο πρώτος τόμος του Φέλκελ που έδινε τους παράγοντες των αριθμών μέχρι τον 408.000 εκδόθηκε στα 1776 με έξοδα του αυστριακού αυτοκρατορικού ταμείου. Καθώς όμως ήταν πολύ λίγοι αυτοί που ενδιαφέρθηκαν για το βιβλίο, το ταμείο μάζεψε όλα σχεδόν τα αντίγραφα της έκδοσης και χρησιμοποίησε το χαρτί για την κατασκευή φυσιγγίων σε ένα πόλεμο εναντίον των Τούρκων. Το 19ο αιώνα, οι συντονισμένες προσπάθειες των Τσέρνακ (Chernac), Μπούρκχαρντ (Burckhardt), Κρελ (Crelle), Γκλάισερ (Glaisher) και με τη βοήθεια του υπολογιστή Dase οδήγησαν στην κατασκευή ενός πίνακα παραγόντων που κάλυπτε αριθμούς μέχρι το 10.000.000 και εκδόθηκε σε δέκα τόμους. Το μεγαλύτερο επίτευγμα όμως σ’ αυτό τον τομέα είναι ο πίνακας που υπολόγισε ο Τζ. Π. Κούλικ (J.P. Kulik, 1773-1863) από το πανεπιστήμιο της Πράγας. Το αδημοσίευτο ακόμα χειρόγραφο του, αποτέλεσμα μιας εικοσάχρονης προσπάθειας, περιέχει τους παράγοντες όλων των αριθμών μέχρι το 100.000.000. Ο καλύτερος πίνακας που κυκλοφορεί σήμερα είναι του Αμερικανού μαθηματικού Ντ. Ν. Λέμερ (D.N. Lehmer, 1867-1938), ένας έξυπνα ταξινομημένος πίνακας σε έναν τόμο που καλύπτει αριθμούς μέχρι το 10.000.000. Ο Λέμερ απέδειξε ότι ο πίνακας του Κούλικ περιέχει λάθη.
Υπάρχουν τόσα αναπάντητα ερωτήματα σχετικά με τους πρώτους αριθμούς, που μόνα τους μπορούν να γεμίσουν ένα βιβλιαράκι. Για παράδειγμα: Υπάρχουν άπειροι στο πλήθος πρώτοι αριθμοί της μορφής ν +1; Υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθμός ανάμεσα στους ν και (ν+1); Είναι κάθε ακέραιος ν από κάποιο σημείο και πέρα, είτε τετράγωνος είτε άθροισμα ενός πρώτου αριθμού και ενός τετραγώνου; Υπάρχουν άπειροι στο πλήθος πρώτοι αριθμοί του ντε Φερμά — δηλαδή, πρώτοι αριθμοί της μορφής
;
Ένα άλλο σύνολο αριθμών που προκάλεσε την προσοχή των αρχαίων Ελλήνων είναι οι πυθαγόρειες τριάδες. Πυθαγόρεια τριάδα είναι μια τριάδα (α, β, γ) θετικών ακεραίων για την οποία: α +β = γ . Δηλαδή τα α, β και γ μπορούν να αποτελέσουν τα μήκη των καθέτων και της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου. Ένα τέτοιο ορθογώνιο τρίγωνο ονομάζεται πυθαγόρειο τρίγωνο. Έτσι οι (3, 4, 5) και (5, 12, 13) είναι πυθαγόρειες τριάδες που δίνουν τα πυθαγόρεια τρίγωνα 3-4-5 και 5-12-13. Έχει βρεθεί ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι, πριν τα 1600 π.Χ., γνώριζαν μια μέθοδο με την οποία έβρισκαν πυθαγόρειες τριάδες. Σχετικά μ’ αυτές τις τριάδες αριθμών έχει αναπτυχθεί μια τεράστια ερευνητική φιλολογία.
Στην ιστορία των μαθηματικών υπάρχει κάποιος άνδρας που αποτελεί ίσως την πρώτη αληθινή ευφυία στο πεδίο της θεωρίας αριθμών. Μια από τις εργασίες του μάλιστα επηρέασε τόσο πολύ τους μεταγενεστέρους του ευρωπαίους αριθμοθεωριτικούς ώστε η γέννηση της να δικαιούται να χαρακτηριστεί ως μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. Ο άνδρας αυτός είναι ο Διόφαντος και η εργασία που αναφέραμε τα περίφημα Αριθμητικά του. Υπάρχουν κάποιες φτωχές ενδείξεις που τοποθετούν τον Διόφαντο στον 1ο αιώνα, αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί τον τοποθετούν στον 3ο αιώνα. Πέρα από το γεγονός ότι έζησε στην Αλεξάνδρεια, τίποτ’ άλλο δεν είναι γνωστό για την προσωπική ζωή του.
Ο Διόφαντος έγραψε τρεις μαθηματικές εργασίες: τα Αριθμητικά, από την οποία έχουν σωθεί μόνο έξι από τα δεκατρία βιβλία, Για τους Πολυγωνικούς Αριθμούς, από την οποία υπάρχει ένα μόνο μέρος και τα Πορίσματα, που έχουν χαθεί.
Τα Αριθμητικά είναι μια μεγάλη και εντελώς πρωτότυπη εργασία. Είναι μια αναλυτική αντιμετώπιση της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών που χαρακτηρίζει το συγγραφέα ως έξυπνο δεξιοτέχνη αυτού του πεδίου. Πολλοί σχολιαστές ασχολήθηκαν με αυτή την εργασία, αλλά ο Ρεγιομοντάνος ήταν αυτός που στα 1463 ζήτησε μια λατινική μετάφραση του σωζόμενου ελληνικού κειμένου. Την πρόκληση αποδέχτηκε ο Ξυλάντερ (Xylander, εξελληνισμένο όνομα του Wilhelm Holzmann, καθηγητή στο πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης) ο οποίος έκανε μια αξιέπαινη μετάφραση που συνοδευόταν από σημαντικά σχόλια. Η μετάφραση αυτή χρησιμοποιήθηκε στη συνέχεια από τον Γάλλο Μπάσε ντε Μεζιριάκ (Bachet de Meziriac), ο οποίος στα 1621 δημοσίευσε την πρώτη έκδοση του ελληνικού κειμένου μαζί με μια λατινική μετάφραση και σημειώσεις. Στα 1670 έγινε μια δεύτερη έκδοση της ίδιας αυτής μετάφρασης, δυστυχώς όμως αρκετά απρόσεκτη. Αυτή η δεύτερη έκδοση έχει ιδιαίτερη ιστορική σημασία, διότι περιείχε, ενσωματωμένες στο κείμενο τις περίφημες σημειώσεις που έκανε ο Φερμά στο περιθώριο, σημειώσεις που προκάλεσαν πολλές έρευνες στη θεωρία αριθμών. Αργότερα εμφανίστηκαν γαλλικές, γερμανικές και αγγλικές μεταφράσεις των Αριθμητικών.
Το μέρος της Αριθμητικής που έχει σωθεί ασχολείται με την επίλυση 130 περίπου προβλημάτων μεγάλης ποικιλίας, που οδηγούν σε εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού, και λύνεται επίσης μια πολύ ειδική κυβική εξίσωση. Το πρώτο βιβλίο περιέχει εξισώσεις με έναν άγνωστο, ενώ τα άλλα βιβλία ασχολούνται με απροσδιόριστες εξισώσεις δεύτερου βαθμού με δύο και τρεις αγνώστους. Είναι εντυπωσιακή η απουσία γενικών μεθόδων και η επινόηση έξυπνων μαθηματικών τεχνασμάτων που σχεδιάζονται για τις ανάγκες κάθε συγκεκριμένου προβλήματος. Ο Διόφαντος δεχόταν μόνο θετικές και ρητές λύσεις και στις περισσότερες περιπτώσεις ήταν ικανοποιημένος όταν έβρισκε μια λύση σε ένα πρόβλημα, έστω κι αν αυτό δεχόταν κι άλλες λύσεις.
Υπάρχουν μερικά αρκετά δύσκολα θεωρήματα που διατυπώνονται στα Αριθμητικά. Για παράδειγμα, βρίσκουμε, χωρίς απόδειξη αλλά με αναφορά στα Πορίσματα, την πρόταση ότι η διαφορά δύο ρητών κύβων είναι επίσης άθροισμα δυο ρητών κύβων — ένα ζήτημα που διερευνήθηκε αργότερα από τους Φρανσουά Βιέτ (Francois Viete) ντε Μεζιριάκ και ντε Φερμά. Υπάρχουν πολλές προτάσεις σχετικά με την παράσταση αριθμών ως αθροίσματος δυο, τριών ή τεσσάρων τετραγώνων, ένα πεδίο που διερευνήθηκε και ολοκληρώθηκε αργότερα από τους ντε Φερμά, Όυλερ και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ (Joseph Louis Langranz). Είναι ενδιαφέροιν να καταγράψουμε μερικά από τα προβλήματα των Αριθμητικών είναι όλα τους γοητευτικά και πολλά είναι προκλητικά. Πρέπει να έχουμε στο μυαλό μας ότι με τον όρο «αριθμός» εννοείται «θετικός ρητός αριθμός».
Πρόβλημα 17[4], Βιβλίο Ι: Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί οι οποίοι προστιθέμενοι ανά τρεις δίνουν δοθέντες αριθμούς. Οι αριθμοί που δίνονται ας είναι οι 22, 24, 27 και 20.
Πρόβλημα 28, Βιβλίο II: Να βρεθούν δύο τετράγωνοι αριθμοί τέτοιοι ώστε το γινόμενο τους προστιθέμενο σε καθένα απ’ αυτούς να δίνει τετράγωνο αριθμό. (Η λύση του Διόφαντου (3/4)2 , (7/24)2 ).
Πρόβλημα 6, Βιβλίο III: Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι ώστε το άθροισμα τους να είναι τετράγωνο και το άθροισμα τους ανα δυο να είναι επίσης τετράγωνο. (Η λύση του Διόφαντου: 80, 320, 41).
Πρόβλημα 7, Βιβλίο III: Να βρεθούν τρεις αριθμοί αριθμητικής προόδου ώστε το άθροισμα τους ανά δύο να είναι τετράγωνο. (Η λύση του Διόφαντου: 120 1/2, 840 1/2, 1560 1/2).
Πρόβλημα 13, Βιβλίο III: Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι ώστε το γινόμενο τους ανά δύο προστιθέμενο στον τρίτο να είναι τετράγωνο.
Πρόβλημα 15, Βιβλίο III: Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι ώστε το γινόμενο τους ανά δύο προστιθέμενο στο άθροισμα αυτών των δύο να είναι τετράγωνο.
Πρόβλημα 10, Βιβλίο IV: Να βρεθούν δύο αριθμοί τέτοιοι ώστε το άθροισμα τους να είναι ίσο με το άθροισμα των κύβων τους. (Η λύση του Διόφαντου: 5/7, 8/7).
Πρόβλημα 21, Βιβλίο IV: Να βρεθούν τρεις αριθμοί γεωμετρικής προόδου τέτοιοι ώστε η διαφορά τους ανά δύο να είναι τετραγωνικός αριθμός. (Η λύση του Διόφαντου: 81/7, 144/7, 256/7).
Πρόβλημα 1, Βιβλίο VI: Να βρεθεί ένα πυθαγόρειο τρίγωνο στο οποίο η διαφορά της υποτείνουσας σε καθεμιά από τις δύο καθέτους να είναι κύβος. (Η λύση του Διόφαντου: 40-96-104).
Πρόβλημα 16, Βιβλίο VI: Να βρεθεί ένα πυθαγόρειο τρίγωνο στο οποίο το μήκος της διχοτόμου μιας οξείας γωνίας να είναι ρητό.
Τα απροσδιόριστα αλγεβρικά προβλήματα στα οποία ζητούνται οι ρητές μόνο λύσεις έχουν γίνει γνωστά ως δίοφαντικά προβλήματα. Στην πραγματικότητα, η σύγχρονη χρήση του όρου υπονοεί συνήθως τον περιορισμό των λύσεων στους ακεραίους. Είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι ο Διόφαντος δεν επινόησε αυτού του είδους τα προβλήματα, αλλά απλά είχε το σπάνιο ταλέντο να τα χειρίζεται με ευκολία.
Θα κλείσουμε τη διάλεξη μας σχολιάζοντας αυτό που έχει αναδειχτεί ως το πιο φημισμένο ίσως από όλα τα διοφαντικά προβλήματα. Το πρόβλημα 8 του Βιβλίου II των Αριθμητικών λέει: «Να αναλυθεί ένας δεδομένος τετράγωνος αριθμός σε δύο τετράγωνους». Ο Φερμά, στο δικό του αντίγραφο της μετάφρασης των Αριθμητικών από τον ντε Μεζιριάκ, έγραψε στο περιθώριο την παρακάτω ερεθιστική πρόταση: «Η ανάλυση ενός κύβου σε δύο κύβους, μιας τέταρτης η γενικά οποιασδήποτε δύναμης σε δύο δυνάμεις που να έχουν τον ίδιο εκθέτη, μεγαλύτερο από το δύο, είναι αδύνατη και έχω βρει μια οπωσδήποτε θαυμάσια απόδειξη αυτού, αλλά το περιθώριο είναι πολύ στενό για να τη χωρέσει». Με άλλα λόγια, ο Φερμά δήλωνε ότι είχε αποδείξει πως δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι χ, γ, ζ, ν τέτοιοι ώστε χν + γν = zν, όπου ν>2. Αυτή η υπογραμμισμένη πρόταση έχει γίνει γνωστή ως το τελευταίο «θεώρημα» του Φερμά και το ερώτημα αν ο Φερμά είχε πραγματικά μια σωστή απόδειξη, θα παραμείνει ίσως για πάντα αναπάντητο. Πολλοί από τους πιο διακεκριμένους μαθηματικούς μετά τον Φερμά δοκίμασαν τις ικανότητες τους σ’ αυτό το πρόβλημα, αλλά η πρόταση αυτή στη γενική της μορφή παραμένει ακόμα αναπόδεικτη. υπάρχει μια απόδειξη που έδωσε ο Φερμά σε άλλο σημείο για την περίπτωση ν = 4 και ο Όϋλερ έδωσε μια απόδειξη (που τελειοποιήθηκε αργότερα από άλλους) για ν = 3. Στα 1825, οι Λεζάντρ και Ντίριχλετ έδωσαν ανεξάρτητες αποδείξεις για την περίπτωση ν = 5, και στα 1839, ο Λαμέ (Lame) απέδειξε το θεώρημα για ν = 7. Η μελέτη του προβλήματος προχώρησε πάρα πολύ με το Γερμανό μαθηματικό Ε. Κούμερ (Ε. Kummer, 1810-1893). Στα 1843 ο Κούμερ έστειλε μια δήθεν απόδειξη στον Ντίριχλετ, ο οποίος διαπίστωσε ένα λάθος στο συλλογισμό. Τότε ο Κούμερ επέστρεψε στη μελέτη του προβλήματος με ανανεωμένη διάθεση και λίγα χρόνια αργότερα, αφού ανέπτυξε ένα σημαντικό και σχετικό πεδίο της ανώτερης άλγεβρας, τη θεωρία των ιδεωδών, κατέληξε σε πολύ γενικές συνθήκες για τη μη επιλυσιμότητα της σχέσης του Φερμά. Έκτοτε, όλες σχεδόν οι πρόοδοι που σημειώθηκαν πάνω στη μελέτη του προβλήματος στηρίχτηκαν στη διερεύνηση του Κούμερ. Σήμερα είναι γνωστό ότι το τελευταίο «θεώρημα» του Φερμά ισχύει για όλα τα ν<100 .000=».000″ 100.000=»100.000″ 1908=»1908″ aul=»aul» span=»span» wolfskehl=»wolfskehl»>
[1] Γνήσιοι διαιρέτες ενός θετικού ακέραιου ν είναι όλοι οι θετικοί ακέραιοι διαιρέτες του ν εκτός του εαυτού του. Σημειώστε ότι το 1 είναι γνήσιος διαιρέτης του ν. Ένα κάπως απαρχαιωμένο συνώνυμο του γνήσιου διαιρέτη είναι ο ακριβής διαιρέτης.
[2] Υπάρχουν μερικές αλυσίδες με τέσσερις κρίκους που έχουν αριθμούς πάνω από το 1.000.000
[3] Πρώτος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος μεγαλύτερος από το 1 που δεν έχει θετικούς ακέραιους διαιρέτες άλλους από τον εαυτό του και τη μονάδα. Ένας ακέραιος μεγαλύτερος από 1 που δεν είναι πρώτος αριθμός λέγεται σύνθετος αριθμός. Έτσι το 7 είναι πρώτος αριθμός, ενώ το 12 είναι σύνθετος.
[4] Η αρίθμηση των προβλημάτων είναι αυτή που έδωσε ο T.L. Heath στο βιβλίο του Diofantus of Alexandria, 2η έκδοση.
Σχετική Βιβλιογραφία
- Heath T.L., Diophantus of Alexandria, New York: Cambridge University Press, 1910.
- Sieprinski Waclaw, A selection of Problems in the Theory of Numbers,μετ. A. Sharraa, New York: Pergamon Press, 1964.
- Sierpinski Waclaw, Pythagorean Triangles, μετ. A. Sharma. NewYork: Yeshiva University, 1963 (paperback ed.).
