Μπορεί ένα απλό μαθηματικό «κανόνα» να οδηγήσει στην άπειρη διπλασιασμό μιας σφαίρας; Η απάντηση βρίσκεται στο Αξίωμα της Επιλογής (Axiom of Choice, AC), ένα θεμελιώδες αξίωμα της θεωρίας συνόλων που, παρά την εκ πρώτης όψεως απλότητά του, γέννησε παράδοξα που κλόνισαν τη μαθηματική κοινότητα και οδήγησαν τον θεμελιωτή του σε νευρικό κλονισμό.
1. Η πρόκληση του απείρου και ο Κάντορ
Το πρόβλημα ξεκίνησε με την αδυναμία να κάνουμε μια απλή «επιλογή» από ένα άπειρο σύνολο. Ενώ στους ακέραιους μπορούμε να επιλέξουμε τον μικρότερο (π.χ., το 1), στους πραγματικούς αριθμούς είναι αδύνατο να προσδιορίσουμε τον «πρώτο» ή τον «επόμενο» αριθμό.
Ο Γερμανός μαθηματικός Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τα μεγέθη του απείρου. Χρησιμοποιώντας το διαγώνιο επιχείρημα, απέδειξε ότι:
- Υπάρχει το αριθμήσιμο άπειρο (όπως οι φυσικοί αριθμοί), το οποίο μπορεί να «μετρηθεί» 1 προς 1.
- Υπάρχει το μη αριθμήσιμο άπειρο (όπως οι πραγματικοί αριθμοί), το οποίο είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο.
Στη συνέχεια, ο Κάντορ διατύπωσε το Θεώρημα της Καλής Διάταξης, το οποίο υποστήριζε ότι κάθε σύνολο, ακόμα και οι πραγματικοί αριθμοί, μπορεί να «διαταχθεί καλώς» (να έχει σαφές σημείο εκκίνησης και κάθε υποσύνολο να έχει επίσης σημείο εκκίνησης). Παρά την έλλειψη απόδειξης, ο Κάντορ ήταν τόσο πεπεισμένος για την αλήθεια του, πιστεύοντας ότι του είχε αποκαλυφθεί από τον Θεό, που η μαθηματική απόρριψη του έργου του τον οδήγησε σε σοβαρές νευρικές κρίσεις.
2. Η διάσωση και η φορμαλοποίηση: Το Αξίωμα της Επιλογής
Την κρίση του Κάντορ έλυσε ο Ερνστ Ζερμέλο (Ernst Zermelo). Ο Ζερμέλο εντόπισε την κεντρική, ασυνείδητη παραδοχή που χρειαζόταν το Θεώρημα του Κάντορ: ότι μπορούμε να κάνουμε άπειρες επιλογές ταυτόχρονα από οποιοδήποτε σύνολο.
- Ο ορισμός του AC: Το Αξίωμα της Επιλογής δηλώνει ότι, αν έχουμε μια άπειρη συλλογή μη κενών συνόλων, υπάρχει ένας τρόπος να επιλέξουμε ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε σύνολο. Το αξίωμα δεν λέει πώς γίνεται η επιλογή, παρά μόνο ότι είναι δυνατή.
- Ισοδυναμία: Ο Ζερμέλο απέδειξε ότι το AC είναι ισοδύναμο με το Θεώρημα της Καλής Διάταξης του Κάντορ. Η εισαγωγή του AC επέτρεψε την απόδειξη ότι μια καλή διάταξη για τους πραγματικούς αριθμούς υπάρχει.
3. Τα παράδοξα που κλόνισαν τη μαθηματική διαίσθηση
Η αποδοχή του Αξιώματος της Επιλογής, ενώ έλυσε το πρόβλημα του Κάντορ, δημιούργησε ταυτόχρονα «αποκρουστικά» αποτελέσματα, αμφισβητώντας την έννοια του μεγέθους, του μήκους και του όγκου.
Το Σύνολο του Βιτάλι: Ο Τζουζέπε Βιτάλι (Giuseppe Vitali) χρησιμοποίησε το AC για να κατασκευάσει ένα μη μετρήσιμο σύνολο (non-measurable set). Αυτό το σύνολο είναι μια συλλογή σημείων στην ευθεία που δεν μπορεί να έχει συνεπή ορισμό μήκους ή εμβαδού.
Το Παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι: Το πιο ανατρεπτικό αποτέλεσμα είναι το Παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι (Banach–Tarski Paradox). Οι μαθηματικοί Στέφαν Μπάναχ και Άλφρεντ Τάρσκι απέδειξαν ότι, χρησιμοποιώντας το AC, μπορεί κανείς να διασπάσει μια συμπαγή σφαίρα σε μόλις πέντε μη μετρήσιμα κομμάτια, τα οποία, με απλή περιστροφή και μετατόπιση, μπορούν να ανασυναρμολογηθούν σε δύο σφαίρες πανομοιότυπες με την αρχική. Αυτή η «άπειρη διπλασιασμός» παραβιάζει κάθε φυσική έννοια του όγκου.
4. Η Ετυμηγορία: Ένα Αξίωμα «Επιλογής»
Η μαθηματική κοινότητα βρέθηκε σε κρίση για πάνω από τρεις δεκαετίες. Ήταν το AC αληθές, ψευδές, ή απλώς ένα εργαλείο;
- Η ανεξαρτησία: Η τελική απάντηση δόθηκε από τους Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) το 1938 και Πολ Κοέν (Paul Cohen) το 1963. Απέδειξαν ότι το Αξίωμα της Επιλογής είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Δηλαδή, ούτε μπορεί να αποδειχθεί, ούτε να αναιρεθεί από αυτά, όπως ακριβώς συμβαίνει με το Αξίωμα των Παραλλήλων στη Γεωμετρία.
- Η χρησιμότητα και αποδοχή: Σήμερα, το Αξίωμα της Επιλογής είναι σχεδόν καθολικά αποδεκτό στην πλειονότητα των μαθηματικών κλάδων. Παρά τα παράδοξα που δημιουργεί, είναι απαραίτητο για την απόδειξη πολλών θεμελιωδών θεωρημάτων. Χωρίς αυτό, οι μαθηματικοί θα ήταν αναγκασμένοι να εργάζονται με «δεμένα χέρια», κάνοντας τη σύγχρονη μαθηματική έρευνα εξαιρετικά δυσχερή. Η επιλογή του AC είναι, τελικά, μια επιλογή του «μαθηματικού σύμπαντος» στο οποίο θέλει κανείς να εργαστεί.