Φανταστείτε το σενάριο: Εσείς και άλλοι εννέα άνθρωποι έχετε συλληφθεί από εξαιρετικά ευφυείς εξωγήινους αφέντες. Οι εξωγήινοι σιχαίνονται να τρώνε όντα με υψηλή λογική και ικανότητα συνεργασίας, οπότε σας δίνουν ένα τεστ:
Οι κανόνες του παιχνιδιού
- Θα παραταχθείτε σε μία μονή σειρά, κοιτάζοντας προς τα εμπρός, κατά σειρά ύψους. Ο καθένας βλέπει όποιον είναι μπροστά του, αλλά κανείς δεν βλέπει όποιον είναι πίσω του ή το δικό του καπέλο.
- Στο κεφάλι του καθενός θα τοποθετηθεί τυχαία ένα μαύρο ή λευκό καπέλο. Δεν γνωρίζετε πόσα είναι κάθε χρώματος.
- Η διαδικασία μαντέματος ξεκινά από το άτομο που βρίσκεται στο πίσω μέρος της σειράς (το ψηλότερο) και κινείται προς τα εμπρός.
- Πρέπει να πείτε μόνο μία λέξη: «Μαύρο» ή «Λευκό». Οποιαδήποτε άλλη λέξη ή σήμα απαγορεύεται.
- Για να σωθείτε όλοι, τουλάχιστον εννέα (9) από τους δέκα πρέπει να μαντέψουν σωστά το χρώμα του δικού τους καπέλου.
Έχετε πέντε λεπτά για να συμφωνήσετε σε ένα σχέδιο. Μπορείτε να σκεφτείτε μια στρατηγική που εγγυάται τη σωτηρία όλων;
Η λύση: Χρήση του πρώτου μαντέματος ως κώδικα
Το κλειδί για την επίλυση του γρίφου βρίσκεται στο πρώτο άτομο (αυτό στο πίσω μέρος), το οποίο μπορεί να δει τα καπέλα όλων των άλλων. Αυτό το άτομο θα χρησιμοποιήσει την απάντησή του («Μαύρο» ή «Λευκό») για να μεταδώσει κωδικοποιημένες πληροφορίες στους υπόλοιπους, ακόμα κι αν αυτό σημαίνει ότι θα θυσιάσει τη δική του σωστή μαντεψιά.
Η πληροφορία που μπορεί να μεταδοθεί με δύο μόνο λέξεις είναι η ισοτιμία (Parity), δηλαδή αν ο αριθμός είναι μονός ή ζυγός.
Το συμφωνημένο σχέδιο
Συμφωνία: Όλοι οι κρατούμενοι συμφωνούν εκ των προτέρων να μετρήσουν τα μαύρα καπέλα που βλέπουν μπροστά τους.
Το άτομο στο πίσω μέρος (Αριθμός 10):
- Αν μετρήσει μονό αριθμό μαύρων καπέλων μπροστά του, λέει: «Μαύρο».
- Αν μετρήσει ζυγό αριθμό μαύρων καπέλων μπροστά του, λέει: «Λευκό».
- Σημείωση: Το άτομο 10 έχει 50% πιθανότητα να μαντέψει λάθος το δικό του καπέλο, αλλά μεταδίδει την απαραίτητη πληροφορία.
Πώς εφαρμόζεται η λογική
Ας υποθέσουμε ότι η ακολουθία των καπέλων (από πίσω προς τα εμπρός) είναι: [Λευκό, Μαύρο, Μαύρο, Λευκό, Μαύρο, Λευκό, Λευκό, Μαύρο, Λευκό, Λευκό]
| Άτομο | Βλέπει | Ακούει | Συμπέρασμα | Απάντηση | Σωστή/Λάθος |
| 10 (Πίσω) | 3 Μαύρα (μονός αριθμός) | Τίποτα | Κωδικοποιεί: Ο αριθμός των μαύρων μπροστά μου είναι μονός. | Μαύρο | ΛΑΘΟΣ (Το δικό του είναι Λευκό) |
| 9 | 2 Μαύρα (ζυγός) | «Μαύρο» (μονός) | Ο Νο. 10 είπε ότι βλέπει μονό αριθμό Μαύρων. Εγώ βλέπω ζυγό (2). Άρα, το δικό μου καπέλο πρέπει να είναι Μαύρο για να συμπληρωθεί ο μονός αριθμός (2 + 1 = 3). | Μαύρο | ΛΑΘΟΣ (Το δικό του είναι Λευκό) |
| 8 | 2 Μαύρα (ζυγός) | «Μαύρο» | Ο Νο. 10 είπε μονό (3). Ο Νο. 9 είπε ΛΑΘΟΣ και ήταν Λευκό. Άρα, τα μαύρα που βλέπει ο 8 είναι 3. Βλέπω 2 Μαύρα, άρα το δικό μου είναι Μαύρο (2 + 1 = 3). | Μαύρο | ΣΩΣΤΟ |
| 7 | 1 Μαύρο (μονός) | «Μαύρο» | Ο Νο. 10 είπε μονό (3). Ο Νο. 9 ήταν Λευκό. Ο Νο. 8 ήταν Μαύρο. Άρα, μέχρι τώρα έχουν φανεί 2 Μαύρα. Εγώ βλέπω 1 Μαύρο, άρα το δικό μου είναι Μαύρο (1 + 1 = 2). | Μαύρο | ΣΩΣΤΟ |
(Σε αυτήν την περίπτωση, η αλυσίδα πληροφοριών χάθηκε. Ας επαναλάβουμε το παράδειγμα με τη σωστή εφαρμογή της λογικής.)
Η σωστή εφαρμογή της λογικής
Η λογική του Παράδοξου είναι: Κάθε άτομο χρησιμοποιεί τις πληροφορίες που ακούει για να ενημερώσει την προσδοκία του για την ισοτιμία που θα δει.
Το σενάριο: [Μαύρο, Λευκό, Μαύρο, Λευκό, Μαύρο, Λευκό, Λευκό, Μαύρο, Λευκό, Λευκό]
| Άτομο | Χρώμα Καπέλου | Αρχικό Μήνυμα/Πληροφορία | Μετράει (Μαύρα) Μπροστά του | Συμπέρασμα | Απάντηση |
| 10 (Πίσω) | Μ | Βλέπει 5 Μαύρα μπροστά του (μονός). | 5 | Κωδικός: Μαύρο = "Ο αριθμός των Μαύρων είναι ΜΟΝΟΣ." | Μαύρο |
| 9 | Λ | Άκουσε: ΜΟΝΟΣ (5 Μαύρα). | Βλέπει: 4 Μαύρα (ζυγός). | 5 (αναμενόμενα) - 4 (βλέπω) = 1. Άρα, το δικό μου είναι Μαύρο. | Μαύρο |
| 8 | Μ | Άκουσε: 9 είπε Μαύρο. Άρα, το 9 πρέπει να είναι Μαύρο. Η νέα προσδοκία είναι ΖΥΓΟΣ (4 Μαύρα). | Βλέπει: 3 Μαύρα (μονός). | 4 (αναμενόμενα) - 3 (βλέπω) = 1. Άρα, το δικό μου είναι Μαύρο. | Μαύρο |
| 7 | Λ | Άκουσε: 8 είπε Μαύρο. Άρα, το 8 πρέπει να είναι Μαύρο. Η νέα προσδοκία είναι ΜΟΝΟΣ (3 Μαύρα). | Βλέπει: 3 Μαύρα (μονός). | 3 (αναμενόμενα) - 3 (βλέπω) = 0. Άρα, το δικό μου είναι Λευκό. | Λευκό |
| 6 | Μ | Άκουσε: 7 είπε Λευκό. Άρα, το 7 πρέπει να είναι Λευκό. Η νέα προσδοκία παραμένει ΜΟΝΟΣ (3 Μαύρα). | Βλέπει: 2 Μαύρα (ζυγός). | 3 (αναμενόμενα) - 2 (βλέπω) = 1. Άρα, το δικό μου είναι Μαύρο. | Μαύρο |
| 5, 4, 3, 2, 1 | Διαδοχικά | Συνεχίζουν με την ίδια λογική, ενημερώνοντας την προσδοκία τους για την ισοτιμία με βάση την απάντηση του προηγούμενου. | - | - | ΣΩΣΤΟ |
Αποτέλεσμα:
- Ο Νο. 10 μάντεψε ΣΩΣΤΑ (με 50% πιθανότητα).
- Ο Νο. 9 μάντεψε ΛΑΘΟΣ (το μόνο επιτρεπτό λάθος).
- Οι Νο. 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 μάντεψαν όλοι ΣΩΣΤΑ (8 σωστοί).
Συνολικά, 9 από τους 10 μάντεψαν σωστά, και όλοι σώζονται! Η στρατηγική λειτουργεί για οποιαδήποτε διάταξη καπέλων, καθώς το μήνυμα της ισοτιμίας επιτρέπει στους 9 μπροστινούς να συμπεράνουν το χρώμα του δικού τους καπέλου με απόλυτη βεβαιότητα.